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1、第七单元三角函数考点一 三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=13,则cos(-)=.【解析】与关于y轴对称,+=+2k(kZ),则sin=sin=13,cos=223,cos=-cos,cos(-)=-cos2+sin2=-79.【答案】-792.(2016年全国卷) 若tan=34,则cos2+2sin2=().A.6425B.4825C.1D.1625【解析】cos2+2sin2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+4341+342=6425.【答案】A3.(2016年上
2、海卷)方程3sinx=1+cos2x在区间0,2上的解为.【解析】由3sinx=1+cos2x,得3sinx=2-2sin2x,所以2sin2x+3sinx-2=0,解得sinx=12或sinx=-2(舍去),所以原方程在区间0,2上的解为6或56.【答案】6或56考点二 三角函数的图象与性质4.(2017年全国卷)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin2x+23,则下面结论正确的是().A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线
3、C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C2【解析】因为C2:y=sin2x+23=sin2x+2+6=cos2x+6,所以只需把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平移12个单位长度,即得到曲线C2.【答案】D5.(2017年全国卷)设函数f(x)=cosx+3,则下列结论错误的是().A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线x=83对称C.f(x+)的一个零点为x=6D.f(x)在2,上单调
4、递减【解析】函数f(x)的周期为2k(kZ),故A正确;由x+3=k(kZ),得x=k-3(kZ),当k=3时,x=83,故B正确;f(x+)=-cosx+3,则当x=6时,f(x+)=0,故C正确;函数f(x)的图象是由函数y=cosx的图象向左平移3个单位长度得到的,故函数f(x)在-3,23上单调递减,在23,53上单调递增,故D错.【答案】D6.(2017年全国卷)函数f(x)=sin2x+3cosx-34x0,2的最大值是.【解析】f(x)=sin2x+3cosx-34=1-cos2x+3cosx-34=-cosx-322+1,x0,2,cosx0,1,f(x)的最大值为1.【答案】
5、17.(2017年天津卷)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|.若f58=2,f118=0,且f(x)的最小正周期大于2,则().A.=23,=12B.=23,=-1112C.=13,=-1124D.=13,=724【解析】由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=4118-58=3,=23,即f(x)=2sin23x+.|0,|2),x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536上单调,则的最大值为().A.11B.9C.7D.5【解析】由已知可得-4+=k,kZ,4+=m+2,mZ,由+,得2=(k+m)+2.因为|2,所以k+m=0或k+
6、m=-1,即=4.由-,得=2(m-k)+1,即为正奇数.因为函数f(x)在区间18,536上单调,所以只要该区间位于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间即可,且536-18122,即12.当=4时,f(x)=sinx+4,则k-218+4且536+4k+2,kZ,解得36k-27236k+95.由于12,故k最大取1,此时4.59,故的最大值为9.当=-4时,f(x)=sinx-4,则k-218-4且536-4k+2,kZ,解得36k-9236k+275.由于12,故k最大取0,此时275,故的最大值为5.综上可知,的最大值为9.【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关
7、系式和诱导公式.命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.7.1三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式一角的概念1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.2.所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的角的集合是S=|=k360+,kZ.3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象
8、限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180=rad,1=180rad,1rad=180.2.扇形的弧长公式:l=|r,扇形的面积公式:S=12lr=12|r2.三任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sin=,cos=,tan=yx(x0).四同角三角函数的基本关系1.平方关系:.2.商数关系:.五诱导公式组数一二三四五六角2k+(kZ)+-2-2+正弦sin-sin-sinsin余弦cos-coscos-cos正切tantan-tan-tan口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律
9、奇变偶不变,符号看象限1 已知点P(sin,cos)在第二象限,则角的终边在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2cos23+tan225=().A.12B.-12C.32D.-323 已知(-,-2),且sin=-12,则cos等于().A.-12B.12C.-32D.324 已知tan(2017+)=12,则cos-3sin2sin+cos等于().A.-2B.12C.-23D.-145 在平面直角坐标系中,角的终边过点P(2,1),则cos2+sin2的值为.6 已知一扇形的圆心角为(00),当为多少弧度时,该扇形面积最大?知识清单一、1.(1)一条射线图形(2)正角负
10、角零角三、yx四、1.sin2+cos2=12.sincos=tan五、coscossin-sin基础训练1.【解析】由题意得sin0,所以角的终边在第四象限,故选D.【答案】D2.【解析】cos23+tan225=-12+1=12.【答案】A3.【解析】cos=1-sin2=1-122=32,-,-2,cos0),所在圆的半径为R.(1)若=60,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.(2)若扇形的周长为4,求当为多少弧度时,该扇形有最大面积?【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则=60=3,l=310=103,S弓=S扇-S=1210310-12102sin3=503-503
11、2=503-32.(2)扇形周长2R+l=2R+R=4,R=4+2,S扇=12R2=124+22=84+4+2=84+41.当且仅当=4,即=2时,扇形面积有最大值1.理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20-2r(0r10).扇形的面积S=12lr=12(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25.当r=5时,S有最大值25,此时l=10,=lr=2rad.当=2rad时,扇形的面积取最大值.题型三同角三角函数基本
12、关系式的应用【例3】在ABC中,sinA+cosA=15.(1)求sinAcosA的值;(2)求tanA的值.【解析】(1)sinA+cosA=15,两边平方得1+2sinAcosA=125,sinAcosA=-1225.(2)由(1)得sinAcosA=-12250,又0A,cosA0,cosA0,sinA-cosA=75.由可得sinA=45,cosA=-35,tanA=sinAcosA=45-35=-43.利用(sincos)2=12sincos和tanA=sinAcosA即可求解.【变式训练3】(1)已知tan=2,则sin2+sincos-2cos2=.(2)已知sin2=3sin2
13、,tan=2tan,则cos2=.【解析】(1)sin2+sincos-2cos2=sin2+sincos-2cos2sin2+cos2=tan2+tan-2tan2+1=45.(2)sin2=3sin2,tan2=4tan2,由得,4cos2=3cos2,由+得,sin2+4cos2=3,cos2=23.【答案】(1)45(2)23题型四三角函数诱导公式的应用【例4】已知sin,1cos+6分别是方程5x2-12x-9=0的两根.(1)求cos56-和sin+23的值;(2)若372,求sin(5-)cos(2-)cos32-sin2cos2-sin(-)的值.【解析】sin,1cos+6分
14、别是方程5x2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,sin=-35,1cos+6=3,cos+6=13.(1)cos56-=cos-6+=-cos6+=-13,sin+23=sin2+6=cos+6=13.(2)372,是第三象限角.sin=-35,cos=-45.sin(5-)cos(2-)cos32-sin2cos2-sin(-)=-sin2cos-sin2sin2=-1-cos=-15.熟练运用诱导公式,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.【变式训练4】已知f12+x=sin(-x)cos(2-x)tan(-x)cos-2+x.(1)求f-94的值.(2)若f(x)=14,
15、求sinx+2312+cosx+1712的值.【解析】f12+x=sinxcosx(-tanx)sinx=-cosxtanx=-sinx.(1)令12+x=-94,则x=-94-12=-73,f-94=-sin-73=sin3=32.(2)f(x)=-sinx-12=14,sinx-12=-14,sinx+2312+cosx+1712=sin2+x-12+cos+x+512=sinx-12-cosx+512=sinx-12-cos2+x-12=2sinx-12=-12.方法一数形结合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没
16、有给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【突破训练1】设是第二象限角,试比较sin2,cos2,tan2的大小.【解析】是第二象限角,2+2k+2k,kZ,4+k22+k,kZ,2是第一象限角或第三象限角.如图,结合单位圆上的三角函数线可得,当2是第一象限角时,sin2=AB,cos2=OA,tan2=CT,故cos2sin2tan2.当2是第三象限角时,sin2=EF,cos2=OE,tan2=CT,故sin2cos2tan2.综上可得,当2在第一象限时,cos2sin2tan2;当2在第三象限时,sin2cos2tan2.方法二分类讨论思想
17、在三角函数化简中的应用角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【突破训练2】求sin4n-14-+cos4n+14-(nZ)的值.【解析】当n为偶数时,设n=2k(kZ),则原式=sin8k-14-+cos8k+14-=sin2k+-4-+cos2k+4-=sin-4-+cos4-=-sin4+cos2-4+=-sin4+sin4+=0;当n为奇数时,设n=2k+1(kZ),则原式=sin8k+34-+cos8k+54-=sin2k+34-+cos2k+54-=sin34-+cos54-=sin-4+cos
18、+4-=sin4+-cos4-=sin4+-cos2-4+=sin4+-sin4+=0.故sin4n-14-+cos4n+14-=0.1.(2017日照市三模)若sin(-)=13,且2,则cos的值为().A.223B.-223C.429D.-429【解析】因为sin(-)=sin=13,2,所以cos=-1-sin2=-223.【答案】B2.(2017江西师大附中三模)已知sin(-+)+2cos(3-)=0,则sin+cossin-cos=().A.3B.-3C.13D.-13【解析】因为sin(-+)+2cos(3-)=0,所以-sin-2cos=0,可得tan=-2,所以sin+co
19、ssin-cos=tan+1tan-1=-2+1-2-1=13,故选C.【答案】C3.(2017江西八校联考)已知cos-sin=24,则sin2的值为().A.18B.-18C.78D.-78【解析】cos-sin=24,1-sin2=18,sin2=78.【答案】C4.(2017临城质检)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角终边上一点,且sin=-255,则y=().A.-8B.-4C.2D.4【解析】因为sin=y42+y2=-255,所以y0,且y2=64,所以y=-8.【答案】A5.(2017宁德三模)已知sin+6=45,则cos-3的值为().A.35B
20、.45C.-45D.-35【解析】cos-3=cos+6-2=sin+6=45,故选B.【答案】B6.(2017南昌二模)已知sin+2cos=0,则1+sin2cos2=.【解析】由sin+2cos=0,得sin=-2cos,则1+sin2cos2=sin2+cos2+2sincoscos2=1.【答案】17.(2016湖北二模)设f(x)=sinx,x1,2f(x-2),x1,则f-236+f94=.【解析】f-236+f94=sin-236+2f94-2=12+2sin4=32.【答案】328.(2017郴州市四检)已知3cos2=tan+3,且k(kZ),则sin2(-)=.【解析】由
21、题意可得3cos2-3=tan,即-3sin2=sincos,因为k(kZ),所以sincos=-13,即sin2=-23,所以sin2(-)=-sin2=23.【答案】239.(2016许昌二模)已知点P(sin-cos,tan)在第二象限,则的一个变化区间是().A.-,-2B.-4,4C.-34,-2D.2,【解析】因为点P(sin-cos,tan)在第二象限,所以sin-cos0,根据三角函数的性质可知选项C正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角满足=2k3+6(kZ),则的终边一定在().A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或
22、x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】当k=0时,=6,终边位于第一象限,当k=1时,=56,终边位于第二象限,当k=2时,=32,终边位于y轴的非正半轴上,当k=3时,=2+6,终边位于第一象限.综上可知,的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.【答案】D11.(2016上饶月考)当0x4时,函数f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x的最小值是().A.14B.12C.2D.4【解析】当0x4时,0tanx1,f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x=1tanx-tan2x,设t=tanx,则0t0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象
23、C的对称轴的距离的最小值是3,则=.2 函数y=2-3cosx+4的最大值为,此时x=.3 函数f(x)=sinx-4的图象的一条对称轴是().A.x=4B.x=2C.x=-4D.x=-2知识清单一、(0,0)(,0)(2,0)二、x|xk+2x=k+2x=kk+2,0k2,02k-2,2k+22k+2,2k+322k-,2k2k,2k+k-2,k+2基础训练1.【解析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14,故f(x)的最小正周期为T=43=43,=2T=32.【答案】322.【解析】当cosx+4=-1时,函数y=2-3cosx+4取得最大值5,此时x+4=+2
24、k(kZ),从而x=34+2k,kZ.【答案】534+2k,kZ3.【解析】正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-4=k+2,kZ,x=k+34,kZ.取k=-1,则x=-4.【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数f(x)=lg(3+2x-x2)+sinx的定义域为.【解析】由题意得3+2x-x20,sinx0,即-1x3,2kx2k+(kZ), 解得0x0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.【解析】(1)f(x)=4cosxsinx+4=22sinxcosx+22cos2x=2(sin2x+cos2x)+2=2sin2x+4+2.因为f(x
25、)的最小正周期为,且0,所以22=,故=1.(2)由(1)知f(x)=2sin2x+4+2,令-2+2k2x+42+2k,kZ,所以-34+2k2x4+2k,kZ,所以-38+kx8+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间为-38+k,8+k,kZ.先将y=f(x)化成y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中A0,0)形式,再结合求周期公式和求单调区间的方法即可求解.【变式训练3】已知函数f(x)=sinxcosx-3sinx+32(0)的最小正周期为2.(1)求的值;(2)求函数f(x)的单调递减区间.【解析】f(x)=sinxcosx-3sinx+32=sinxcosx-3sin2x
26、+32=12sin2x+32cos2x=sin2x+3.(1)函数f(x)的最小正周期为2,22=2,解得=2.(2)由(1)知f(x)=sin4x+3,令2k+24x+32k+32,kZ,得2k+64x2k+76,kZ,k2+24xk2+724,kZ.函数f(x)的单调递减区间是k2+24,k2+724,kZ.题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数 f(x)=sin2x+3cos2x(xR).(1)若函数y=f(x+)|2的图象关于直线x=0对称,求的值;(2)若函数y=fx+612的图象关于点43,0中心对称,求|的最小值.【解析】f(x)=sin2x+3cos2x=2sin2x+3
27、.(1)y=f(x+)=2sin2x+3+2的图象关于直线x=0对称,f(x+)为偶函数,3+2=2+k,kZ,则=k2+12,kZ.|2,=-512或=12.(2)y=fx+612=2sin2x+2=2cos(2x+)的图象关于点43,0中心对称,2cos243+=2cos23+2=2cos23+=0,23+=k+2,kZ,=k-6,kZ,取k=0,得|的最小值为6.若f(x)=Asin(x+)为偶函数,则=k+2,kZ;若f(x)=Asin(x+)为奇函数,则=k,kZ.如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令x+=k(kZ)即可.【变式训练4】设函数f(x)=2sin(2x+)(-0).
28、(1)若f4-x=f(x),求;(2)若函数y=f(x)是奇函数,求函数g(x)=cos2x+32的单调递减区间.【解析】(1)f4-x=f(x),函数f(x)的图象关于直线x=8对称,令28+=k+2,kZ,则=k+4,kZ,又-0,则-54k-14,kZ.k=-1,则=-34.(2)函数y=f(x)是奇函数,-0,=-2,g(x)=cos2x-34.令2k2x-34+2k,kZ,可解得38+kx78+k,kZ,y=g(x)的单调递减区间为38+k,78+k,kZ.方法方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin(x+
29、)或y=Acos(x+)的最值,但要注意对参量的符号进行讨论,以便确定函数的单调性,其次由已知列方程求解.【突破训练】已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx+3cos2x-2.(1)当x0,2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=-(1+)f2(x)-2f(x)+1在-3,6上单调递减,求实数的取值范围.【解析】f(x)=sin2x+23sinxcosx+3cos2x-2=3sin2x+cos2x=2sin2x+6.(1)令-2+2k2x+62+2k,kZ.解得2k-232x2k+3,kZ,即k-3xk+6,kZ.x0,2,f(x)的单调递增区间为0,6.(2)由
30、(1)知函数f(x)在-3,6上单调递增, 设f(x)=t,则-1t1,k(t)=-(1+)t2-2t+1(-1t1),当=-1时,k(t)=-2t+1在-1,1上单调递减,即=-1符合题意;当0,则-11+1,得-2-1时,-(1+)0,则-11+-1,得-10.综上,-2,0.1.(2017江西二模)函数y=2sin2x+32-1是().A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为2的奇函数【解析】y=2sin2x+32-1=-cos(2x+3)=cos2x,y=2sin2x+32-1是最小正周期为的偶函数.【答案】A2.(2017广东联考)函数f(x)=2sinx2-8cosx2-8的图象的一个对称中心可以是().A.(-,0)B.-34,0C.32,0D.2,0【解析】由题意知f(x)=sinx-4,令x-4=k(kZ),则x=k+4(kZ).由k=-1,得x=-34,即f(x)=sinx-4的一个对称中