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1、第 1 页 共 10 页 1 第 3 讲 动量守恒和能量守恒的综合应用第 3 讲 动量守恒和能量守恒的综合应用 A 组 基础巩固A 组 基础巩固 1.(2017 朝阳期中)小铁块置于薄木板右端,薄木板放在光滑的水平地面上,铁块的质量大于木板的质量。 t=0 时使两者获得等大反向的初速度开始运动,t=t1时铁块刚好到达木板的左端并停止相对滑动,此时与 开始运动时的位置相比较,下列示意图符合实际的是( ) 答案 A 铁块质量大于木板质量,系统所受合外力为零,动量守恒,根据初动量情况,可知末动量方向向 左。具体运动情况如以下分析:根据牛顿第二定律 f=ma 可知,铁块的加速度较小,因此,铁块向左以较
2、小 的加速度匀减速运动,木板以较大的加速度向右匀减速运动,木板的速度先减为零,然后反向运动,当两 者速度相等时,停止相对运动,由动量守恒可得出 v1)的原子核发生弹性正碰。若碰前原子核静止,则碰撞前与碰撞后中子的速 率之比为( ) A.B.C.D. A + 1 A - 1 A - 1 A + 1 4A (A + 1)2 (A + 1)2 (A - 1)2 答案 A 设中子质量为 m,则原子核的质量为 Am。 设碰撞前后中子的速度分别为 v0、 v1,碰后原子核的速 度为 v2,由弹性碰撞可得 mv0=mv1+Amv2, m= m+ Am,解得 v1=v0,故=,A 正确。 1 2 v20 1
3、2 v21 1 2 v22 1 - A 1 + A | v0 v1| A + 1 A - 1 3.(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成,将其放在光滑的水平面上,质量为 m 的子弹 以速度 v 水平射向滑块。若射击下层,子弹刚好不射出;若射击上层,则子弹刚好能射穿一半厚度,如图所 示。则上述两种情况相比较( ) 第 2 页 共 10 页 2 A.子弹的末速度大小相等 B.系统产生的热量一样多 C.子弹对滑块做的功不相同 D.子弹和滑块间的水平作用力一样大 答案 AB 由动量守恒定律有mv=(m+M)v共,得v共=,A正确;由能量守恒定律有Q= mv2- (m+M),知B mv M
4、 + m 1 2 1 2 v 2 共 正确;由动能定理有 M-0=W,知 C 错误;产生的热量 Q=fs,因 s 不同,则 f 也不同,故 D 错误。 1 2 v 2 共 4.(2017 海淀零模)如图所示,在光滑水平地面上有 A、 B 两个小物块,其中物块 A 的左侧连接一轻质弹簧。 物块 A 处于静止状态,物块 B 以一定的初速度向物块 A 运动,并通过弹簧与物块 A 发生弹性正碰。对于该 作用过程,两物块的速率变化可用速率-时间图像进行描述,在选项图所示的图像中,图线 1 表示物块 A 的 速率变化情况,图线 2 表示物块 B 的速率变化情况。则在这四个图像中可能正确的是( ) 答案 B
5、 由图像知速度方向都为正。 B 通过弹簧与 A 发生弹性碰撞,B 减速,A 加速,某一时刻两者速度相 等,之后 A 继续加速,B 继续减速,vBmbB.mau=2 m/s,所以 v=4 m/s 即物块 B 与物块 A 第一次碰撞前的速度大小 设物块 A、 B 第一次碰撞后的速度分别为 v2、 v1,取向左为正方向,由动量守恒定律和机械能守恒定律 得 mv=mv1+Mv2 mv2= m+ M 1 2 1 2 v21 1 2 v22 解得 v1=- v=-2 m/s,v2=2 m/s 1 2 弹簧具有的最大弹性势能等于碰后物块 A 的初动能 Epm= M=12 J 1 2 v22 (3)物块 B
6、经第一次与物块 A 碰撞后物块 B 沿光滑水平面向右匀速运动 设物块 B 在传送带上向右运动的最大位移为 l 由动能定理得-mgl=0- m 1 2 v21 第 5 页 共 10 页 5 得 l=2 m4.5 m 所以物块 B 不能通过传送带运动到右边的 圆轨道上。当物块 B 在传送带上向右运动的速度为零后, 1 4 将会沿传送带向左加速运动。 可以判断,物块 B 运动到左边光滑水平面上时的速度大小为 v1=2 m/s,方向 向左,继而与物块 A 发生第二次碰撞。 设第 1 次碰撞到第 2 次碰撞之间,物块 B 在传送带上运动的时间为 t1 由动量定理得 mgt1=2mv1 解得 t1= v=
7、2 4 s=4 s 2v1 g 2 g 1 2 1 2 设物块 A、 B 第二次碰撞后的速度分别为 v4、 v3,取向左为正方向,由动量守恒定律和机械能守恒定律 得 mv1=mv3+Mv4 mv= m+ M 1 2 21 1 2 v23 1 2 v24 解得 v3=- v1=-1 m/s 1 2 当物块 B 在传送带上向右运动的速度为零后,将会沿传送带向左加速运动。可以判断,物块 B 运动到 左边光滑水平面上时的速度大小为 v3=1 m/s,继而与物块 A 发生第 3 次碰撞。设第 2 次碰撞到第 3 次碰 撞之间,物块 B 在传送带上运动的时间为 t2 由动量定理得 mgt2=2mv3 解得
8、 t2= v1= v=2 4 s=2 s 2v3 g 2 g 1 2 2 g 1 2 1 2 1 22 可知:物块B与物块A第n次碰撞后物块B在传送带上运动的时间为tn=4 s(n=1,2,3),t1、 t2、 1 2n - 1 t3构成无穷等比数列,公比 q= 1 2 由无穷等比数列求和公式得 t总=t1,可知,当 n时,t总=4 s=8 s 1 - qn 1 - q 1 1 - 1 2 第 6 页 共 10 页 6 则物块 B 经第一次与物块 A 碰撞后在传送带上运动的总时间为 8 s 7.如图,两块相同平板 P1、P2置于光滑水平面上,质量均为 m。P2的右端固定一轻质弹簧,左端 A 与
9、弹簧的 自由端 B 相距 L。物体 P 置于 P1的最右端,质量为 2m 且可看做质点。P1与 P 以共同速度 v0向右运动,与 静止的 P2发生碰撞,碰撞时间极短,碰撞后 P1与 P2粘连在一起。P 压缩弹簧后被弹回并停在 A 点(弹簧始 终在弹性限度内)。P 与 P2之间的动摩擦因数为 。求 (1)P1、P2刚碰完时的共同速度 v1和 P 的最终速度 v2; (2)此过程中弹簧的最大压缩量 x 和相应的弹性势能 Ep。 答案 (1) v0 (2)-L m v0 2 3 4 v20 32g 1 16 v20 解析 (1)P1、P2碰撞瞬间,P 的速度不受影响,根据动量守恒:mv0=2mv1,
10、解得 v1= v0 2 最终三个物体具有共同速度,根据动量守恒:3mv0=4mv2,解得 v2= v0 3 4 (2)根据能量守恒,系统动能减少量等于因摩擦产生的内能: 2m+ 2m- 4m=2mg(L+x)2 1 2 v21 1 2 v20 1 2 v22 解得 x=-L v20 32g 在从第一次共速到第二次共速过程中,弹簧弹性势能等于因摩擦产生的内能,即:Ep=2mg(L+x) 解得 Ep= m 1 16 v20 B 组 综合提能B 组 综合提能 1.(多选)(2018 西城期末)如图甲所示,一轻弹簧的两端与质量分别是 m1和 m2的两物块相连,它们静止在 光滑水平地面上。现给物块 m1
11、一个瞬时冲量,使它获得水平向右的速度 v0,从此时刻开始计时,两物块的 速度随时间变化的规律如图乙所示。则下列判断正确的是( ) 第 7 页 共 10 页 7 A.t1时刻弹簧长度最短 B.t2时刻弹簧恢复原长 C.在 t1t3时间内,弹簧处于压缩状态 D.在 t2t4时间内,弹簧处于拉长状态 答案 ABD m1与 m2速度相同时,动能损失最多,此时弹簧弹性势能最大,0t1时间内,相当于 m1追 m2,两 物块相距越来越近,t1时刻弹簧最短;t1t2时间内,m2一直加速向右运动,m1先向右减速,后反向向左加速, 两物块相距越来越远;由 v-t 图像中斜率表示加速度,可知 t2时刻两物块的加速度
12、为零,即弹簧恢复原 长;t2t3时间内,m2继续向右运动,两物块相距越来越远,弹簧伸长,t3时刻两物块共速,弹性势能最大,弹 簧最长;t3t4时间内,两物块均向右运动,且 m1加速,m2减速,m1的速度大于 m2的速度,两物块逐渐靠近, 说 明弹簧处于拉长状态。综上可知 A、B、D 正确,C 错误。 2.(2017 朝阳期中)如图甲所示,利用我们常见的按压式圆珠笔,可以做一个有趣的实验,先将其倒立向下 按压然后放手,笔将向上弹起一定的高度。为了研究方便,把笔简化为外壳、内芯和轻质弹簧三部分。弹 跳过程可以分为三个阶段(如图乙所示): 把笔竖直倒立于水平硬桌面,下压外壳使其下端接触桌面(见位置
13、a); 由静止释放,外壳竖直上升与静止的内芯碰撞(见位置 b); 碰撞后内芯与外壳以共同的速度一起上升到最大高度处(见位置 c)。 第 8 页 共 10 页 8 不计摩擦与空气阻力,下列说法正确的是( ) A.仅减少笔芯中的油,则笔弹起的高度将变小 B.仅增大弹簧的劲度系数,则笔弹起的高度将变小 C.若笔的总质量一定,外壳质量越大笔弹起的高度越大 D.笔弹起的过程中,弹簧释放的弹性势能等于笔增加的重力势能 答案 C 压缩弹簧,储存弹性势能,释放之后,弹性势能转化为笔的初动能,之后笔离开桌面动能转化为 重力势能,由于减少笔芯中的油,质量减小,所以笔弹起的高度增加,选项 A 错误;因为弹簧的弹性势
14、能与 劲度系数有关,所以仅增大弹簧的劲度系数,储存的弹性势能增大,最终笔上升的距离会增大,选项 B 错 误;由静止释放,外壳竖直上升与静止的内芯碰撞瞬间属于完全非弹性碰撞,机械能会损失一部分,m外壳 v0=Mv共v共=,E= m外壳- M= m外壳-=,一般情况,按压式圆珠笔的外壳质 m外壳v0 M 1 2 v20 1 2 v 2 共 1 2 v20 1 2 m 2 外壳v20 M m外壳v20(M - m外壳) 2M 量大于内芯质量,若笔的总质量一定,外壳质量越大由于碰撞损失的能量越少,笔弹起的高度越大,选项 C 正确;由于碰撞过程中会有一部分能量转化为内能,选项 D 错误。 3.(2017
15、 海淀期中)建筑工程中的“打桩”是利用重锤的冲击克服泥土对桩柱的阻力,使桩柱插入泥土到 达预定深度的过程。如图甲所示,设打桩机重锤的质量为 m,桩柱的质量为 M。打桩过程可简化如下:桩柱 下端开始时在地表面没有进入泥土,提升重锤到距离桩柱上端 h 高度后使其自由落下,重锤撞击桩柱上端, 经极短时间的撞击使两者以共同的速度一起向下移动一段距离后停止。然后再次提升重锤,重复打桩过 程,逐渐把桩柱打到预定深度。设桩柱向下移动的过程中泥土对桩柱的阻力 f 的大小与桩柱打入泥土中 的深度 x 成正比,其函数表达式 f=kx(k 为大于 0 的常量,具体值未知),f-x 图像如图乙所示。 已知重力加 速度
16、大小为 g。 第 9 页 共 10 页 9 (1)求重锤与桩柱第一次碰撞后瞬间的共同速度大小; (2)图像法和比较法是研究物理问题的重要方法,例如从教科书中我们明白了由 v-t 图像求直线运动 位移的思想和方法,请你借鉴此方法,根据图示的 f-x 图像结合函数式 f=kx,分析推导在第一次打桩将桩 柱打入泥土的过程中阻力所做的功与桩柱打入泥土深度的关系式;并将泥土对桩柱的阻力与你熟悉的弹 簧弹力进行比较,从做功与能量转化的角度简要说明泥土对桩柱的阻力做功和弹簧弹力做功的不同; (3)若重锤与桩柱第一次的撞击能把桩柱打入泥土中的深度为 d,试求常量 k 的大小。 答案 (1) (2)见解析 (3
17、)+ m2gh M + m 2(M + m)g d 2m2gh (M + m)d2 解析 (1)设重锤落到桩柱上端时的速度为 v0,对于重锤下落的过程,根据机械能守恒定律有 m=mgh 1 2 v20 解得 v0=2gh 重锤与桩柱相互作用过程极为短暂,冲击力远大于它们所受的重力,重锤与桩柱组成的系统,沿竖直 方向动量守恒,设二者碰撞后共同运动的速度为 v1,根据动量守恒定律有 mv0=(M+m)v1 解得 v1= mv0 M + m m2gh M + m (2)由直线运动的 v-t 图像与横坐标轴所围的“面积”表示位移,比较阻力随深度变化的 f-x 图像可 知,f-x 图像与横坐标轴所围成的
18、三角形的“面积”表示阻力做功的大小 x= kx2 kx + 0 2 1 2 阻力对桩柱做负功,所以 W=- kx2 1 2 由题可知:弹簧弹力的大小和泥土对桩柱的阻力大小变化的规律一样,都是大小与位移成正比。但是 弹簧弹力做的功会使物体减少的机械能以弹性势能的形式存储起来,是不同形式的机械能之间的转化;而 泥土对桩柱做的功会使物体减少的机械能转化成内能,是机械能转化为其他形式能的过程。泥土阻力一 定做负功,弹簧弹力可以做正功,也可以做负功。 第 10 页 共 10 页 10 (3)对于第一次碰撞后获得共同速度到进入泥土深度为 d 的过程,根据动能定理有 (M+m)gd- kd2=0- (M+m) 1 2 1 2 v21 可解得 k=2+ (M + m)g d 2m2gh (M + m)d2