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1、第一讲函数与方程思想要点一函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用解析(1)设f(x)exx1，x0，则f(x)ex10，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0aae，从而ea1aae，故选B.(2)f(x)f (0)ex2x，f (x)f (0)ex2，则f(0)f(0)e02，解得f(0)1，则f(x)ex2x，f(0)e001，则切线l：yx1，对yex求导得yex，当过Q的切线与直线l平行时，|PQ|最小由ex1，可得x0，即切点Q(0,1)，Q到直线l的距离为，故|PQ|的最小值为.答案(1)B(2)函数与方程思想在函数、方程、不
2、等式中的应用技巧(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得(2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域 (3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数对点训练1(2017河南平顶山
3、一模)若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()Aa BaCa0，得，当且仅当x1时，等号成立则a，故选A.答案A2(2018豫南九校联考)若关于x的方程22|x2|2a有实根，则实数a的取值范围是_解析令f(x)22|x2|，要使方程f(x)2a有实根，只需2a是f(x)值域内的值，又可知f(x)的值域为1,2)，12a2，解得1a0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前
4、n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决(2)本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问求出bn的表达式，说明要求bnk恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)2x(x1)，利用函数求解对点训练3已知等比数列an的首项为，公比为，前n项和为Sn，则Sn的最大值与最小值之和为()A. B. C. D1解析由等比数列前n项和公式可得Sn1n.当n为奇数时，Sn1n，1SnS1；当n为偶数时，Sn1n，S2Sn0)，则f(x)1.令f(x)0，得x，易知当x(0，)时，f (x)0，f(x)在
5、区间(0，)上递减，在区间(，)上递增，又5f(6)，当n6时，有最小值.答案要点三函数与方程思想在解析几何中的应用解(1)证明：设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x00)与直线l1：xy40相切，设点A为圆上一动点，ABx轴于B，且动点N满足 2，设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交
6、于P，Q两点，求OPQ(O为坐标原点)面积的最大值解(1)设动点N(x，y)，A(x0，y0)，因为ABx轴于B，所以B(x0,0)，由题意得，r2，所以圆M的方程为M：x2y24.因为2，所以(0，y0)2(x0x，y)，即将A(x,2y)代入圆M：x2y24中，得动点N的轨迹方程为y21.(2)由题意，设直线l：xym0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与椭圆C的方程得消去y，得13x28mx4m240，192m2413(4m24)16(m213)0，解得m2y1,0ab1，则下列各式中一定正确的是()AaxbyC.解析因为函数yax(0ay1,0ab1，所以ax0)在(0，
7、)上单调递增，可得ayby，所以ax0)的焦点F，抛物线C上存在点P与点Q(5,0)关于直线l对称，则p()A. B1 C2 D4解析由题意，F，设P(x0，y0)，直线PQ的方程为y(x5)，3(x05)22px0.又x05，x03，p2，故选C.答案C3(2018银川模拟)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20.又4|m|3|n|，t|n|2|n|20，解得t4，故选B.答案B4(2018沈阳模拟)等差数列an的前n项和为Sn，已知a
8、113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5 B6 C7 D8解析解法一：由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80，根据首项a113可推知数列an递减，从而得到a70，a80)，则g(t)，令g(t)0，得t1，当t(0,1)时，g(t)0，所以g(t)ming(1)，所以|AB|，所以|AB|的最小值为，故选D.答案D二、填空题7(2018厦门一中月考)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy30垂直，则a等于_解析y，将x3代入，得曲线y在点(3,2)处的切线斜率k，故与切线垂直的直线的斜率为2，即a2，得a2.答案28(2018江苏卷)在平面直角坐标系
9、xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_解析双曲线的一条渐近线方程为bxay0，则F(c,0)到这条渐近线的距离为c，bc，b2c2，又b2c2a2，c24a2，e2.答案29在各项都为正数的等比数列an中，已知a12，a4a4a，则数列an的通项公式为an_.解析因为a4a4a，所以(anq2)24a4(anq)2，所以q44q240q，则an222.答案2三、解答题10(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cosB；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解(1)由题设及
10、ABC，得sinB8sin2，故sinB4(1cosB)上式两边平方，结合sin2B1cos2B，整理得17cos2B32cosB150，解得cosB1(舍去)，cosB.(2)由cosB得sinB，故SABCacsinBac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB)3624.所以b2.11(2018深圳调研)已知等差数列an的公差d0，a1a414，且a1，a2，a7成等比数列(1)求an的通项公式an与前n项和公式Sn；(2)令bn，若bn是等差数列，求数列的前n项和Tn的最小值解(1)a1a42a13d14，由a1，a2，a7成
11、等比数列得a1(a16d)(a1d)2，整理得d24a1d，d0，d4a1，由d4a1与2a13d14联立，解得a11，d4，ana1(n1)d4n3，Sn2n2n.(2)由(1)知bn，bn为等差数列，2b2b1b3，代入可解得k或k0，当k时，bn2n，则，Tn，又y在(0，)上是增函数，当n1时，Tn有最小值.当k0时，bn2n1，则，Tn，又y在(0，)上是增函数，当n1时，Tn取到最小值.综上，当k时，Tn的最小值为；当k0时，Tn的最小值为.12设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值解(1)依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即当k时，上式取等号所以S的最大值为2.即四边形AEBF面积的最大值为2.