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1、衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题五函数与方程问题求解举例【方法综述】函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数yf(x)(如果yax2bxc可以写成f(x)ax2bxc，即yf(x)的形式)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看作二元方程yf(x)0
2、，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例【要点回顾】1函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续的曲线，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不成立2函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)0.3曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线yf(x)与yg(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数yf(x)g(x)的零点，即求
3、f(x)g(x)0的根【典型例题】1求函数的零点例1.求函数f(x)x33x2的零点解令f(x)x33x20，(x2)(x1)20.x2或x1，函数f(x)x33x2的零点为2,1.评注求函数的零点，就是求f(x)0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题2判断函数零点的个数例2.已知函数f(x)ax(a1)，判断函数f(x)0的根的个数解设f1(x)ax(a1)，f2(x)，则f(x)0的解，即为f1(x)f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)ax(a
4、1)与f2(x)的图象(如图所示)所以方程f(x)0的根有一个评注利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点个数(即为原函数的零点的个数)3确定零点所在的区间例3.设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)解析yx3与yx2的图象的交点的横坐标即为x3x2的根，即f(x)x3x2的零点，f(1)1110，f(2)23070，f(x)的零点在(1,2)内答案B评注本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求4利用函
5、数零点的存在性求参数范围例4.关于x的二次方程x2(m1)x10在0,2上有解，求实数m的取值范围解设f(x)x2(m1)x1，x0,2，又f(0)10，由题意得或解得3m1，解得m3.综合得m1.故m的取值范围为m1.评注本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求.4.判断方程解的存在性例5.已知函数f(x)3x32x21，判断方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解解因为f(1)3(1)32
6、(1)2140，所以f(1)f(0)1，f(6)1，f(6)1得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6)0时g(x)单调递增；当a0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点因此方程f(x)1仅有一个根故选A.答案A评注在区间a，b上单调且图象连续的函数yf(x)，若f(a)f(b)0在区间1,5上有解，则a的取值范围是（ ）A (22,+) B (-,22) C (-,3) D (-,275)【答案】D【解析】x2-ax+20在区间1,5上有解，转化为存在一个x1,5使得x2+2axx+2xa，设fx=x+2x，即是fx的最大值a，fx的最大值=275，当x=5
7、时取得，故选D3已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A 1,3 B 3，1,1,3C 27，1,3 D 27，1,3【答案】D【解析】f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x2-3x，令x0，则-x0 ，f（-x）=x2+3x=-f（x）,f（x）=-x2-3x，fxx2-3x，x0-x2-3x，x0,g（x）=f（x）-x+3 ，g（x）=x2-4x+3，x0-x2-4x+3，x0,令g（x）=0，当x0时，x2-4x+3=0，解得x=1，或x=3，当x0时，-x2-4x+3=0，解得x=-2-7，函数g（x
8、）=f（x）-x+3的零点的集合为27，1,3.故选：D4若关于x的方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，则实数m的取值范围为()A (-4,-2) B (-3,-2) C (-4,0) D (-3,1)【答案】A【解析】设函数f（x）=7x2（m+13）xm2，方程7x2（m+13）xm2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2），&f(0)0&f(1)0&f(2)0，&f(0)=-m-20&f(1)=-2m-80&f(2)=-3m0，解得：4m2，即实数m的取值范围是（4，2）；故选：A5设函数f(x)=xx+bx+c，给
9、出下列四个命题：当c=0时，y=f(x)是奇函数；当b=0，c0时，方程f(x)=0只有一个实数根；函数f(x)可能是R上的偶函数；方程f(x)=0最多有两个实根.其中正确的命题是（ ）A B C D 【答案】A【解析】当c=0时，函数f(x)=xx+bxf-x=-x-x+b-x=-xx+bx=-fx，则函数y=f(x)是奇函数，故正确当b=0，c0时，函数在R上是增函数，且值域为-，+，则方程f(x)=0只有一个实数根，故正确若函数f(x)是R上的偶函数，则fx=f(-x)，即xx+bx+c=-x-x-bx+c，不存在等式在R上成立，故错误当b=-1，c=0时，方程f(x)=0有三个实根：1
10、，-1，0，因此，方程f(x)=0最多有两个实根错误综上所述，正确的命题有故选A6已知函数f(x)=1x+1-3,x(-1,0x,x(0,1，则方程f(f(x)=1在(-1,1内方程的根的个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3【答案】D【解析】画出函数图象，如图，令fx=t，则ft=1，由图象可得t1=1,t2-1,-23，由fx=t1时，y=fx与y=1有两个交点，fx=1有两个根.由fx=t2时，由图象可得y=fx与y=t2有一个交点，fx=t2有一个根.综上，方程f(f(x)=1在(-1,1内方程的根的个数是3，故选D.7.已知R，函数f(x)=x-4,xx2-4x+3,x，当=2时
11、，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】 (1,4)(1,3(4,+)【解析】由题意得x2x-40或x2x2-4x+30，所以2x4或1x2，即1x4，不等式f(x)4时，f(x)=x-40，此时f(x)=x2-4x+3=0,x=1,3，即在(-,)上有两个零点；当4时，f(x)=x-4=0,x=4，由f(x)=x2-4x+3在(-,)上只能有一个零点得10-x2+bx+c,x0，若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_【答案】3【解析】由已知当x0时f（x）=x2+bx+c，由待定系数得：&f(0)=c=-2&f(-1)=-1-
12、b+c=1解得c=2，b=4；故f（x）=&x=-2，x0&-x2-4x-2，x0，令f（x）+x=0，分别解之得x1=2，x2=1，x3=2，即函数共有3个零点故答案为：39.已知函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.（）若函数f(x)在区间(-1,0)和(0,12)上各有一个零点，求t的取值范围；（）若f(x)0在区间0,2上恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)(12,34);(2)(-32,12).【解析】（）因为函数f(x)在区间(-1,0)和(0,12)上各有一个零点，所以有f(-1)=1-2t+1+1-2t0f(0)=1-2t0 解得12t0在区间0,2上恒成立，需满足1
13、-2t20f(0)=1-2t0或01-2t22=2t-12-41-2t0解得：无解或-32t12 或 无解 所以-32t12所以t的取值范围为：(-32,12). 10.如图所示，定义域为-,2上的函数y=fx是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.（1）求fx的解析式；（2）若x关于的方程fx=a有三个不同解，求a的取值范围；（3）若fx=98，求x的取值集合.【答案】（1）fx=x+2,x032x2-92x+3,0x2.;（2）-38a0;（3）-78,12.【解析】（1）当x0时，函数fx为一次函数，设其解析式为fx=kx+mk0，点0,2和-2,0在函数图
14、象上，m=2-2k+m=0解得k=1m=2fx=x+2当0x2时，函数fx是二次函数，设其解析式为fx=ax2+bx+ca0，点1,0,2,0,0,3在函数图象上，a+b+c=04a+2b+c=0c=3解得a=32b=-92c=3fx=32x2-92x+3综上fx=x+2,x032x2-92x+3,0x2.（2）由（1）得当0x2时， fx=32x2-92x+3=32x-122-38，fx-38.结合图象可得若方程fx=a有三个不同解，则-38a0。实数a的取值范围-38,0.（3）当x0时，由fx=98得x+2=98解得 x=-78；当0x2时，由fx=98得32x2-92x+3=98，整理得4x2-12x+5=0解得x=12或x=52（舍去）综上得满足fx=14的x的取值集合是-78,12.