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1、第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面给出了四个条件:空间三个点;一条直线和一个点;和直线a都相交的两条直线;两两相交的三条直线.其中,能确定一个平面的条件有()A.3个B.2个C.1个D.0个解析:当空间三点共线时不能确定一个平面;点在直线上时不能确定一个平面;两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面;三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.故4个条件都不能确定一个平面.答案:D2.对于直线m,n和平面,下列结论正确的是()A.如果m,n,m,n是异面直线,那么nB.
2、如果m,n,m,n是异面直线,那么n与相交C.如果m,n,m,n共面,那么mnD.如果m,n,m,n共面,那么mn解析:当m,n,m,n是异面直线时,n与可以平行,也可以相交,故A,B错误;对于C,由线面平行的性质定理可知C正确;对于D,m与n还可以相交,故D错误.答案:C3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为()A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定解析:因为平面ABFE平面CDHG,又平面EFGH平面ABFE=EF,平面EFGH平面CDHG=HG,所以EFHG.同理EHFG,所以四边形EFGH
3、的形状是平行四边形.答案:B4.已知a,b,c是直线,则下面四个命题:若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;若ab,则a,b与c所成的角相等.其中真命题的个数为()A.0B.3C.2D.1解析:异面、相交关系在空间中不能传递,故错;根据等角定理,可知正确.答案:D5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()解析:选项B,C中,易知ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面
4、MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.答案:A6.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A.30B.45C.60D.90解析:当三棱锥D-ABC的体积最大时,平面DACABC,取AC的中点O,连接OD,OB(图略),则DBO是等腰直角三角形,即DBO=45.答案:B7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则()A.AD1B1E B.AD1B1EC.AD1与B1E共面D.以上都不对解析:连接A1D(图略),则由正方形的性质,知AD1A1D.又B1A1平面AA
5、1D1D,所以B1A1AD1,所以AD1平面A1B1ED.又B1E平面A1B1ED,所以AD1B1E,故选A.答案:A8.已知一个正方体的展开图如图所示,其中A,B为所在棱的中点,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中AB与CD所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90解析:展开图还原为正方体(如图),其中EF,FG,EG分别为所在面的对角线.因为A,B分别为相应棱的中点,所以EFAB.易知CDEG,所以FEG为AB与CD所成的角(或其补角).又因为EG=EF=FG,所以FEG=60,即AB与CD所成角的大小为60.答案:C9.在三棱锥P-ABC中,ABC=90,PA=PB=PC.
6、则下列说法正确的是()A.平面PAC平面ABCB.平面PAB平面PBCC.PB平面ABCD.BC平面PAB解析:如图,因为PA=PB=PC,所以点P在底面的射影是底面ABC的外心.又因为ABC=90,所以射影O为AC的中点.则PO平面ABC,所以平面PAC平面ABC.答案:A10.如图,在多面体ACBDE中,BDAE,且BD=2,AE=1,F在CD上,要使AC平面EFB,则DFFC的值为()A.3B.2C.1D.12解析:连接AD交BE于点O,连接OF.因为AC平面EFB,平面ACD平面EFB=OF,所以ACOF.所以ODOA=DFFC.又因为BDAE,所以EOABOD,所以ODOA=DBEA
7、=2.故DFFC=2.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法:若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线;若a,b与c成等角,则ab.其中正确的是.(只填序号)解析:由公理4知正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可能相交、平行,也可能异面,故不正确;当a平面,b平面时,a与b可能平行、相交或异面,故不正确;当a,b与c成等角时,a与b可能相交、平行,也可能异面,故不正确.答案:12.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,P
8、A平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为.解析:如图,过点A作AEBD于点E.因为PA平面ABCD,所以PABD.又PAAE=A,所以BD平面PAE,所以BDPE.又因为ABCD为矩形,且AB=3,BC=4,所以AE=125.所以PE=PA2+AE2=12+1252=135.答案:13513.如图,正方形ABEF和正方形ABCD有公共边AB,EBC=60,AB=CB=BE=a,则DE=.解析:由已知EBC=60,连接EC(图略).因为BE=BC=a,所以EC=a,又可证CD平面EBC,所以CDEC.因为CD=a,所以DE=2a.答案:2a14.如图,PA平面ABC,ACB=90,
9、且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于.解析:不妨将几何体放在如图所示的正方体中,则PB与AC所成的角等于PB与PQ所成的角.设正方体的棱长为a,连接BQ,则在BPQ中,PQ=a,BQ=2a,所以tanBPQ=2.答案:215.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:PC平面OMN;平面PCD平面OMN;OMPA;直线PD与直线MN所成角的大小为90.其中正确结论的序号是.解析:连接AC(图略),易得PCOM,所以PC平面OMN,结论正确.同理PDON,所以平面PCD平面OMN,结论正确.由于四棱锥的
10、棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PCPA.又PCOM,所以OMPA,结论正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MNAB.又四边形ABCD为正方形,所以ABCD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角,即为PDC.又三角形PDC为等边三角形,所以PDC=60,故错误.答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=90,点D,E在线段AC上,且DE=EC,PD=PC,点F在线段AB上,且EFBC.证明:AB平面PFE.证明:由D
11、E=EC,PD=PC知,E为等腰三角形PDC中DC边上的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,所以PE平面ABC.因为AB平面ABC,所以PEAB.因为ABC=90,EFBC,故ABEF.从而AB与平面PFE内的两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.17.(8分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E
12、分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.18
13、.(9分) 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,ABCD,且AB=23CD.试问在PC上能否找到一点E,使得BE平面PAD?若能,请确定点E的位置,并给出证明;若不能,请说明理由.解:在PC上能找到点E,且满足CEPE=12,可使BE平面PAD.证明如下:延长DA和CB交于点F,连接PF,如图.在梯形ABCD中,ABCD,AB=23CD.所以ABCD=BFFC=23,所以BCBF=12.又CEPE=12, 所以在PFC中,CEPE=BCBF,所以BEPF.而BE平面PAD,PF平面PAD,所以BE平面PAD.19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于
14、底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.(1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)解:如图,取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD及BCAD,ABC=90,得四边形ABCM为正方形,则CMAD.因为侧面PAD垂直底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以CM侧面PAD,所以CMPM.设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PNCD
15、,所以PN=142x.因为PCD的面积为27,所以122x142x=27,解得x=-2(舍去),x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD的体积V=132(2+4)223=43.20.(10分)如图,在RtAOB中,OAB=30,斜边AB=4,RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到,且平面AOB平面AOC.动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值.(1)证明:由题意知,COAO,平面AOB平面AOC,所以CO平面AOB.又CO平面COD,所以平面COD平面AOB.(2)解:作DEOB,垂足为E,连接CE(如图),则DEAO.所以CDE是异面直线AO与CD所成的角.由(1)知COBO,在RtOCB中,CO=BO=2,OE=12BO=1,所以CE=CO2+OE2=5.又DE=12AO=1223=3,所以在RtCDE中,tanCDE=CEDE=53=153.故异面直线AO与CD所成的角的正切值是153.