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1、第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是()A.没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线D.不在同一平面内的两条直线是异面直线解析:没有公共点的两条直线还可能异面,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B选项不正确;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.答案:C2.如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列
2、结论一定不成立的是()A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30D.l与BD垂直答案:A3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面,使得()A.a,bB.a,bC.a,bD.a,b解析:对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在,使a,b,B正确;对于选项C,a,b,一定有ab,但当a与b异面时,不存在平面,使结论成立,C错误;对于选项D,a,b,一定有ab,但当a与b平行时,不存在平面,使结论成立,D错误.答案:B4.给出下列四个命题:垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一个平面的两个平面互相平行;若直线l1,l
3、2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.其中不正确的个数是()A.1B.2C.3D.0解析:利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现均不正确.故选C.答案:C5.若l为直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若l,l,则D.若,l,则l解析:对于A,若l,l,则和可能平行也可能相交,故A错误;对于B,由线面垂直的性质可得,B正确;对于C,若l,l,应推出,故C错误;对于D,l与的位置关系不确定,l,l,l与相交,都有可能,故D错误.答案:B6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BDB.
4、ACC.ADD.A1D1解析:由BDAC,BDCC1,ACCC1=C,则BD平面ACC1A1.又CE平面ACC1A1,所以BDCE.答案:A7.如图,点S在平面ABC外,SBAC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是()A.1B.2C.22 D.12解析:如图,取CB的中点D,连接ED,DF,则EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即EDF=90.在EDF中,ED=12SB=1,DF=12AC=1,所以EF=ED2+DF2=2.答案:B8.已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为()A.75B.60C.45D.30解析:如图,O为
5、底面ABCD的中心,连接AC,BD,SO,易得SO平面ABCD.所以OCS为侧棱SC与底面ABCD所成的角.又由已知可求得OC=22.因为SC=1,所以OCS=45.答案:C9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,有下面四个结论:EFAA1; EFAC;EF与AC异面; EF平面ABCD.其中一定正确的是()A.B.C.D.解析:如图,由于AA1平面A1B1C1D1,EF平面A1B1C1D1,则EFAA1,所以正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EFA1C1,又ACA1C1,则EFAC,所以不正确;当E,
6、F不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以不正确;由于平面A1B1C1D1平面ABCD,EF平面A1B1C1D1,所以EF平面ABCD,所以正确.答案:D10.已知平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13解析:(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD
7、1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成角的正弦值为32.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体.易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为32.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.直线l1l2,在l1上取2个点,l2上取2个点,由这4个点能确定平面的
8、个数是.解析:因为l1l2,所以经过l1,l2有且只有一个平面.答案:112.如图,在ABC中,ACB=90,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点Pl,当点P逐渐远离点A时,PCB的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)解析:l平面ABC,lBC.ACB=90,BCAC.又PAAC=A,PA,AC平面PAC,BC平面PAC.BCPC.PCB=90.故当点P逐渐远离点A时,PCB的大小不变.答案:不变13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,它的体积为3,底面对角线的长为2,则A1B1与平面AB1C1所成角的大小为.解析:由已知可求得长方体ABCD-A1B1C1D1的底
9、面边长为1,侧棱长为3.过点A1作A1EAB1于点E,如图.因为B1C1平面ABB1A1,所以B1C1A1E.因为AB1B1C1=B1,所以A1E平面AB1C1.所以A1B1E即为A1B1与平面AB1C1所成的角.因为AA1=3,A1B1=1,所以AB1=2,A1E=32.因为sinA1B1E=A1EA1B1=32,所以A1B1E=60.答案:6014.已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S -ABC的体积为9,则球O的表面积为.解析:取SC的中点O,连接OA,OB.因为SA=AC,SB=BC,所以OASC,
10、OBSC.因为平面SAC平面SBC,且OA平面SAC,所以OA平面SBC.设OA=r,则VA-SBC=13SSBCOA=13122rrr=13r3,所以13r3=9,解得r=3.所以球O的表面积为4r2=36.答案:3615.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).解析:由直四棱柱可知CC1平面A1B1C1D1,所以CC1B1D1.要使得B1D1A1C,只要B1D1平面A1C1C,即只要B1D1A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案:B1
11、D1A1C1(答案不唯一)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.证明:(1)如图,连接EF,CD1,BA1.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EFBA1.又BA1CD1,所以EFCD1.所以E,C,D1,F四点共面.(2)因为EFCD1,EFCD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P.由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理,得P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1
12、=DA,所以P直线DA.所以CE,D1F,DA三线共点.17.(8分) 如图,PA正方形ABCD所在的平面,经过点A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AEPB.证明:因为PA平面ABCD,所以PABC.又ABCD是正方形,所以ABBC.而PAAB=A,所以BC平面PAB.因为AE平面PAB,所以BCAE.由PC平面AEFG,得PCAE.因为PCBC=C,所以AE平面PBC.所以AEPB.18.(9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC.(2)求证:平面PAB平面PAC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否
13、存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.(1)证明:因为PC平面ABCD,所以PCDC.又因为DCAC,所以DC平面PAC.(2)证明:因为ABDC,DCAC,所以ABAC.因为PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解:棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.理由如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF,如图.因为E为AB的中点,所以EFPA.又因为PA平面CEF,所以PA平面CEF.19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱
14、锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解: 在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12B
15、C2sin 60=6+23.20.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG,如图.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG=12AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=AC2-BC2=3.所以三棱锥E-ABC的体积V=13SABCAA1=1312312=33.