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1、第二章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线;已知直线b平面,a平面,直线b平面,则直线b直线a”,这个结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案:A2.已知f(x+1)=2f(x)f(x)+2,f(1)=1(xN*),猜想f(x)的表达式为()A.f(x)=42x+2B.f
2、(x)=2x+1C.f(x)=1x+1D.f(x)=22x+1解析:当x=1时,f(2)=2f(1)f(1)+2=23=22+1;当x=2时,f(3)=2f(2)f(2)+2=24=23+1;当x=3时,f(4)=2f(3)f(3)+2=25=24+1,故可猜想f(x)=2x+1,应选B.答案:B3.如图所示,4只小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位这样交替进行下去,那么第2 018次互换座位后,小兔坐在()号座位上.A.1B.2C.3D.4解析:由题意得第4次互换座位后,4只小动物又回到
3、了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 018=4504+2,所以第2 018次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.答案:B4.已知x(0,+),不等式x+1x2,x+4x23,x+27x34,可推广为x+axnn+1,则a的值为()A.2nB.n2C.22(n-1)D.nn解析:第一个不等式中的a=11,第二个不等式中的a=22,第三个不等式中的a=33,第n个不等式中的a=nn.答案:D5.若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2
4、B2C2都是钝角三角形C.A1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形解析:因为y=sin x在区间(0,)内是正值,所以A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,因此A1B1C1是锐角三角形.由于A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,因此A2B2C2不可能为直角三角形,故假设A2B2C2也是锐角三角形,并设cos A1=sin A2,则cos A1=cos2-A2,所以A1=2-A.同理设cos B1=sin B2,cos C1=sin C2,则有B1=2-B2,C1=2-C2.又A1+B1+C1=,则
5、2-A2+2-B2+2-C2=, 即A2+B2+C2=2.这与三角形内角和等于矛盾,所以原假设不成立.故选D.答案:D6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10等于()A.28B.76C.123D.199解析:利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案:C
6、7.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律,若m2=1+3+5+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n等于()A.10B.11C.12D.13解析:m2=1+3+5+11=1+1126=36,m=6.23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,53=21+23+25+27+29.又n3的分解中最小的正整数是21,n3=53,n=5,m+n=6+5=11.答案:B8.将正奇数数列1,3,5,7,9,依次按两项、三项分组,得到分组序列如
7、下:(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组,依此类推,则原数列中的2 019位于分组序列中的()A.第404组B.第405组C.第808组D.第809组答案:A9.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析:根据图形的规律可知,第n个三角形数为an=n(n
8、+1)2,第n个正方形数为bn=n2,由此可排除选项D(1 378不是平方数),将选项A,B,C代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.答案:C10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),则在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC12+BD12+CA12+DB12等于()A.2(AB2+AD2+AA12)B.3(AB2+AD2+AA12)C.4(AB2+AD2+AA12)D.4(AB2+AD2)解析:如图,连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1
9、C2+AC12=2(AA12+AC2).连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,故BD12+DB12=2(BB12+BD2). 又在ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),AA12=BB12,则AC12+BD12+CA12+DB12=2AA12+AC2+2BB12+BD2=2AC2+BD2+BB12+AA12 =22(AB2+AD2)+2AA12=4(AB2+AD2+AA12). 故选C.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三名同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
10、乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.答案:A12.已知函数f(x)=x3+x,a,b,cR,且a+b0,b+c0,c+a0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零.(填“大”或“小”)解析:f(x)=x3+x是R上的奇函数,且是增函数,又由a+b0可得a-b,f(a)f(-b)=-f(b),f(a)+f(b)0.同理,得f(b)+f(c)0,f(c)+f(
11、a)0.三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)0.答案:大13.在平面几何中,ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为AEEB=ACBC,把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图所示),平面DEC平分二面角A-CD-B,且与AB相交于点E,则类比后得到的结论是_.解析:CE平分ACB,而平面CDE平分二面角A-CD-B,ACBC可类比成SACDSBCD.故结论为AEEB=SACDSBCD. 答案:AEEB=SACDSBCD14.已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为
12、三种情况:当成立时,则a2,b2,c=0,此种情况不成立;当成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;当成立时,则a=2,b2,c0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=1002+100+1=201.故答案为201.答案:20115.把数列12n-1的所有项按照从大到小的原则写成如下数表:113151719111113115117119129 第k行有2k-1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(6,10)=.解析:前5行共有20+21+22+23+24=31个数,A(6,10)为数列的第41项.an=12n-1,a41=181.答案:181三、解答
13、题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解法一:(1)选择式,计算如下:si
14、n215+cos215-sin 15cos 15=1-12sin 30=1-14=34.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34.证明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+34cos2+32sin cos +14sin2-32sin cos -12sin2=34sin2+34cos2=34.解法二:(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34.证明如下:sin
15、2+cos2(30-)-sin cos(30-)=1-cos22+1+cos(60-2)2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=12-12cos 2+12+12(cos 60cos 2+sin 60sin 2)-32sin cos -12 sin2=12-12cos 2+12+14cos 2+34sin 2-34sin 2-14(1-cos 2)=1-14cos 2-14+14cos 2=34.17.(8分)已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a1).(1)证明函数f(x)在区间(-1,+)内为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.分析:对第(1)小题,可
16、用定义法证明;对第(2)小题,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明:(1)设x1,x2是区间(-1,+)内的任意两个实数,且x11,ax10.又x1+10,x2+10,x2-2x2+1-x1-2x1+1=(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1)(x1+1)(x2+1)=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1)0. 于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+x2-2x2+1-x1-2x1+10,故函数f(x)在区间(-1,+)内为增函数.(2)假设存在x00(x0-1)满足f(x0)=0,则ax0=-x0-2x0+1,且0ax01,于是0-x0-2x0+11,即12x02.这与假设
17、x00矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证:tanx+4=1+tanx1-tanx.(2)设xR,a为非零常数,且f(x+a)=1+f(x)1-f(x),试问f(x)是周期函数吗?证明你的结论.(1)证明:由两角和的正切公式,得tanx+4=tanx+tan41-tanxtan4=tanx+11-tanx,即tanx+4=1+tanx1-tanx,命题得证.(2)解:猜想f(x)是以4a为周期的周期函数.证明过程如下:f(x+2a)=f(x+a)+a=1+f(x+a)1-f(x+a)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1
18、-f(x)=-1f(x),f(x+4a)=f(x+2a)+2a=-1f(x+2a)=f(x).f(x)是以4a为周期的周期函数.故f(x)是周期函数,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0baba;又当a=1,b=12时,abba,由此猜测abba对一切0baba对一切0baln ba,需证bln aaln b,需证lnaalnbb.设函数f(x)=lnxx,x(0,e),f(x)=1-lnxx2,当x(0,e)时,f(x)0恒成立.所以f(x)=lnxx在区间(0,e)内单调递增,所以f(a)f(b),即lnaalnbb,所以abba.20.(10分)已知数列an和bn满足:a1=,an
19、+1=23an+n-4,bn=-1nan-3n+21,其中为常数,n为正整数.(1)求证:对任意实数,数列an不是等比数列;(2)求证:当-18时,数列bn是等比数列;(3)设Sn为数列bn的前n项和,是否存在实数,使得对任意正整数n,都有Sn-12?若存在,求实数的范围;若不存在,请说明理由.分析:解答本题,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.(1)证明:假设存在实数,使得数列an是等比数列,则有a22=a1a3.又因为a2=23a1-3=23-3,a3=23a2-2=49-4,所以23-32=49-4,即492-4+9=492-4,
20、 则9=0,这是不可能的.所以假设不成立,原结论成立.故对任意实数,数列an不是等比数列.(2)证明:因为-18,所以b1=-(+18)0.又bn+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21=(-1)n+123an-2n+14=-23(-1)n(an-3n+21)=-23bn,所以bn0,所以bn+1bn=-23(nN*).故当-18时,数列bn是以-(+18)为首项,-23为公比的等比数列.(3)解:当-18时,由(2)得bn=-(+18)-23n-1,所以Sn=-35(+18)1-23n.(*)当=-18时,bn=0,从而Sn=0,(*)式仍成立.要使对任意正整数n,都有Sn-12,即-35(+18)1-23n-12, 解得201-23n-18.令f(n)=1-23n,则当n为正奇数时,1f(n)53;当n为正偶数时,59f(n)1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)=53,所以-12,此时实数的取值范围是(-,-6).