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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时过关能力提升基础巩固1.4(a-b)-3(a+b)-b等于()A.a-2bB.aC.a-6bD.a-8b解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.答案:D2.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列说法正确的是()m(a-b)=ma-mb;(m-n)a=ma-na;若ma=mb,则a=b;若ma=na,则m=n.A.B.C.D.解析:和属于数乘对向量与实数的分配律,正确;中,若m=0,则不能推出a=b,错误;中,若a=0,则m,n没有关系,错误.答案:B3.已知P,A,B,C是平面内四点,且PA+PB+PC=AC,则下列向量一定共线的是()A.PC与
2、PBB.PA与PBC.PA与PCD.PC与AB解析:因为PA+PB+PC=AC,所以PA+PB+PC+CA=0,即-2PA=PB,所以PA与PB共线.答案:B4.已知点C在线段AB上,且AC=27CB,则()A.AB=75BCB.AB=-75BCC.AB=97BCD.AB=-97BC解析:AB=AC+CB=27CB+CB=97CB=-97BC.答案:D5.在ABC中,AB=c,AC=b.若边BC上一点D满足BD=2DC,则AD=()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c解析:如图,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=
3、23b+13c.答案:A6.如图,AB是O的直径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于 ()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b解析:连接CD,OD,如图所示.点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,AC=CD,CAD=DAB=1260=30.OA=OD,ADO=DAO=30.由此可得CAD=ADO=30,ACDO.由AC=CD,得CDA=CAD=30,CDA=DAO,CDAO,四边形ACDO为平行四边形,AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b.答案:D7.已知两个非零向量e1和e2不共线,且ke1+2e2和3e1+ke2共线,则实数k=
4、.解析:ke1+2e2和3e1+ke2共线,存在实数,使得ke1+2e2=(3e1+ke2).ke1+2e2=3e1+ke2,k=3,2=k,解得k=6.答案:68.如图,在ABC中,D,E分别在AB,AC上,且ADAB=AEAC=13,则DE=BC.解析:ADAB=AEAC=13,AD=13AB,AE=13AC,DE=AE-AD=13AC-13AB=13(AC-AB)=13BC.答案:139.如图,已知向量a,b,求作向量12a+2b.解:步骤如下:作向量OA=12a,OB=2b,如图.以OA,OB为邻边作OACB,则向量OC就是所求作的向量.10.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是
5、BC,DC的中点,G为DE,BF的交点.若AB=a,AD=b,试用a,b表示DE,BF,CG.解:DE=DC+CE=AB+12CB=AB-12AD=a-12b;BF=BC+CF=AD+12CD=AD-12AB=-12a+b.如图,连接BD,则G是BCD的重心,连接AC交BD于点O,则O是BD的中点,点G在AC上.故CG=23CO=2312CA=-13AC=-13(AB+AD)=-13(a+b).能力提升1.已知向量a,b不共线,c=ka+b(kR),d=a-b,如果cd,那么()A.k=1,且c与d同向B.k=1,且c与d反向C.k=-1,且c与d同向D.k=-1,且c与d反向答案:D2.已知
6、ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数满足AB+AC=AP,则的值为()A.2B.32C.3D.6解析:AB+AC=PB-PA+PC-PA=PB+PC-2PA.又PA+PB+PC=0,即PB+PC=-PA,AB+AC=-3PA=AP=-PA,=3.答案:C3.设点O在ABC内部,且OA+OB+2OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()A.3B.4C.5D.6解析:如图,以OA和OB为邻边作平行四边形OADB,设OD与AB交于点E,则E分别是OD,AB的中点,OA+OB=OD=2OE,则2OE+2OC=0,所以OE=-OC.则O,E,C三点共线,所以O是
7、中线CE的中点.又ABC,AEC,AOC有公共边AC,则SABC=2SAEC=2(2SAOC)=4SAOC.答案:B4.在ABC中,点M为边AB的中点,若OPOM,且OP=xOA+yOB(x0),则yx=.解析:M为AB的中点,OM=12(OA+OB).又OPOM,存在实数,使OP=OM,OP=2(OA+OB)=2OA+2OB,x=y=2,yx=1.答案:15.在ABC中,点M满足MA+MB+MC=0,若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=.解析:MA+MB+MC=0,点M是ABC的重心.AB+AC=3AM,m=3.答案:36.下列各组向量中,a,b共线的是.(填序号)a=-32e,b
8、=2e(e为非零向量);a=e1-e2,b=-3e1+3e2(e1,e2为非零且不共线的向量);a=e1-e2,b=e1+2e2(e1,e2为非零且不共线的向量).解析:a=-34b,且e0,a与b共线;a=-13b,且e1,e2为非零且不共线的向量,a与b共线;e1,e2为非零且不共线的向量,不存在实数,使a=b,a与b不共线.答案:7.已知非零向量a,b不共线.(1)如果AB=2a+3b,BC=6a+23b,CD=4a-8b,求证:A,B,D三点共线;(2)已知AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a-b,若使A,B,D三点共线,试确定实数k的值.(1)证明因为BC=6a+23b,CD
9、=4a-8b,所以BD=BC+CD=10a+15b.又AB=2a+3b,所以BD=5AB,即BDAB.因为有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)解DB=CB-CD=a+3b-2a+b=4b-a,AB=2a+kb.因为A,B,D三点共线,所以ABDB.设DB=AB,所以-1=2,4=k,解得k=-8.8.已知O,A,M,B为平面上四点,且OM=OB+(1-)OA(R,0,且1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数的取值范围.(1)证明OM=OB+(1-)OA,OM=OB+OA-OA,OM-OA=OB-OA,AM=AB(R,0,且1).又AM与AB有公共点A,A,B,M三点共线.(2)解由(1)知AM=AB,若点B在线段AM上,则AM与AB同向,且|AM|AB|(如图).1.