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1、2.3.4平面向量共线的坐标表示课时过关能力提升基础巩固1.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y= ()A.13B.-13C.9D.-9解析:AB=(-8,8),BC=(11,y-2),因为ABBC,所以-8(y-2)-811=0,解得y=-9.答案:D2.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为()A.12B.2C.-12D.-2解析:ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),由ma+4b与a-2b共线,有-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2,故选D.答案:D3.下列向量与a=(1,3)共线的是()A.
2、(1,2)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(2,6)答案:D4.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且ab,则2a-b= ()A.(4,0)B.(0,4)C.(4,-8)D.(-4,8)解析:由ab知4+2m=0,m=-2,2a-b=(2,-4)-(-2,4)=(4,-8).故选C.答案:C5.若向量a=(x,1),b=(4,x),则当x=时,a与b共线且方向相同.解析:a=(x,1),b=(4,x),若ab,则x2-4=0,即x2=4,x=2.当x=-2时,a和b方向相反;当x=2时,a与b方向相同.答案:26.若三点A(-2,-2),B(0,m),C(n,0)(mn0)共线,则1
3、m+1n的值为.解析:AB=(2,m+2),AC=(n+2,2).A,B,C三点共线,ABAC,22-(m+2)(n+2)=0,即mn+2m+2n=0.mn0,1m+1n=-12.答案:-127.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则x=.解析:PA=(1,-5),PB=(x-1,-10),因为PA与PB共线,所以1(-10)-(-5)(x-1)=0,解得x=3.答案:38.已知点P1(2,-1),点P2(-1,3),点P在线段P1P2上,且|P1P|=23|PP2|,求点P的坐标.解:设点P的坐标为(x,y),由于点P在线段P1P2上,则有P1P=23PP2.又P1P=(
4、x-2,y+1),PP2=(-1-x,3-y),由题意得x-2=23(-1-x),y+1=23(3-y),解得x=45,y=35,故点P的坐标为45,35.9.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,求实数m应满足的条件.分析:转化为求三点A,B,C不共线时m满足的条件.解:若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,即AB与AC不共线.又AB=(3,1),AC=(2-m,1-m),故知3(1-m)2-m,则m12.故m满足的条件为m12.10.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),AE=13AC,
5、BF=13BC,求证:EFAB.证明设E(x1,y1),F(x2,y2).AC=(2,2),BC=(-2,3),AB=(4,-1),AE=13AC=23,23,BF=13BC=-23,1.(x1,y1)-(-1,0)=23,23,(x2,y2)-(3,-1)=-23,1.(x1,y1)=-13,23,(x2,y2)=73,0.EF=(x2,y2)-(x1,y1)=83,-23.4-23-(-1)83=0,EFAB.能力提升1.已知向量a=(1,1),b=(-1,0),a+b与a-2b共线,则=()A.12B.2C.-12D.-2解析:a+b=(-,),a-2b=(3,1),由共线条件可得,-=
6、3,即=-12.答案:C2.已知向量a=(3,4),b=(sin ,cos ),且ab,则tan 等于()A.34B.-34C.43D.-43解析:ab,3cos -4sin =0.4sin =3cos .tan =34.答案:A3.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=a+b(,R),则实数m的取值范围是()A.(-,0)(0,+)B.(-,3)C.(-,-3)(-3,+)D.-3,3)解析:若平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=a+b(,R),则向量a,b不共线,由a=(1,3),b=(m,2m-3),得2m-33m,解得m-3,即实数m的取
7、值范围是(-,-3)(-3,+).答案:C4.已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k,3),若a-2b与c共线,则k=.解析:a-2b=(3,3).因为a-2b与c共线,所以k3=33,解得k=1.答案:15.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述正确的序号是.存在实数x,使ab;存在实数x,使(a+b)a;存在实数x,m,使(ma+b)a;存在实数x,m,使(ma+b)b.解析:若ab,则x2=-9,显然不成立,即错;同理可得错,只有正确,可令m=0,则ma+b=b,无论x为何值,都有bb.答案:6.已知点A(2,3),B(6,-3),P是线段AB上靠近A的一个三等
8、分点,则点P的坐标是.解析:设P(x,y),由题意得AP=13AB,即(x-2,y-3)=13(4,-6),解方程组x-2=43,y-3=-2,得x=103,y=1.答案:103,17.在AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD与BC交于点M,求点M的坐标.解:OC=14OA=14(0,5)=0,54,C0,54.OD=12OB=12(4,3)=2,32,D2,32.设M(x,y),则AM=(x,y-5),CM=x,y-54,CB=4,74,AD=2,32-(0,5)=2,-72.AMAD,-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.C
9、MCB,74x-4y-54=0,即7x-16y=-20.联立,解得x=127,y=2,故点M的坐标为127,2.8.过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,过A,B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C,D两点.求证:O,C,D三点在一条直线上.证明设A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),则OA=(x1,log8x1),OB=(x2,log8x2),根据已知OA与OB共线,所以x1log8x2-x2log8x1=0.又根据题设条件可知C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),所以OC=(x1,log2x1),OD=(x2,log2x2).因为x1log2x2-x2log2x1=x1log23x23-x2log23x13=3(x1log8x2-x2log8x1)=0,所以OC与OD共线,又OC与OD有公共点O,所以O,C,D三点在一条直线上.