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1、2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时过关能力提升基础巩固1.已知ab,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与a-b垂直,则等于()A.32B.-32C.32D.1解析:(3a+2b)(a-b)=3a2+(2-3)ab-2b2=3a2-2b2=12-18=0,=32.答案:A2.已知两个不共线的单位向量e1,e2的夹角为,则下列结论不一定正确的是()A.e1在e2方向上的投影为cos B.e1e2=1C.e12=e22D.(e1+e2)(e1-e2)答案:B3.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则|a|b|等于()A.14B.4C.12D.2解析:
2、因为a+2b与a-2b垂直,所以(a+2b)(a-2b)=0,所以|a|2-4|b|2=0,即|a|2=4|b|2,所以|a|=2|b|.答案:D4.已知平面上三点A,B,C,满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则ABBC+BCCA+CAAB的值等于 ()A.-7B.7C.25D.-25解析:由条件知ABC=90,所以原式=0+45cos(180-C)+53cos(180-A)=-20cos C-15cos A=-2045-1535=-16-9=-25.答案:D5.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且ab=23,则a与b的夹角为()A.6B.4C.3D.2解析:设a与b的夹角
3、为,则cos =ab|a|b|=2314=32.又0,=6.答案:A6.在ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足AP=2PM,则PA(PB+PC)的值为()A.-4B.-2C.2D.4解析:如图.AP=2PM,|AP|=2|PM|.又AM=3,|AP|=2,|PM|=1.又PB+PC=2PM,PA(PB+PC)=PA(2PM)=PAAP=-|AP|2=-4.答案:A7.已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=3,则|2a-b|=.解析:ab=|a|b|cos 60=3,则|2a-b|2=4a2-4ab+b2=13,所以|2a-b|=13.答案:138.已知|b|=5,
4、ab=12,则向量a在b方向上的投影为.解析:向量a在b方向上的投影为|a|ab|a|b|=ab|b|=125.答案:1259.已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120,求:(1)ab;(2)(3a)15b;(3)(3b-2a)(4a+b).解:(1)ab=|a|b|cos =1012cos 120=-60.(2)(3a)15b=35(ab)=35(-60)=-36.(3)(3b-2a)(4a+b)=12ba+3b2-8a2-2ab=10ab+3|b|2-8|a|2=10(-60)+3122-8102=-968.10.已知两个单位向量a,b的夹角为60.(1)若c=a+3-22b(
5、R),且bc=0,求的值;(2)求向量a+b在b方向上的投影.解:(1)bc=ab+3-22b2=cos 60+3-22=-2+62=0,解得=-2或=3.(2)向量a+b在b方向上的投影为(a+b)b|b|=b2+ab|b|=1+121=32.能力提升1.设a,b,c是三个向量,有下列命题:若ab=ac,且a0,则b=c;若ab=0,则a=0或b=0;a0=0;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:中,ab-ac=a(b-c)=0,又a0,则b=c或a(b-c),即不正确;中,ab=0ab或a=0或b=0,即不正确;中,a
6、0=0,即不正确;中,左边=9a2-6ab+6ba-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,即正确.答案:A2.定义:|ab|=|a|b|sin ,其中为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,ab=-6,则|ab|等于()A.8B.-8C.8或-8D.6解析:cos =ab|a|b|=-625=-35.0,sin =45.|ab|=2545=8.答案:A3.如图,过点M(1,0)的直线与函数y=sin x(0x2)的图象交于A,B两点,则OM(OA+OB)等于() A.1B.2C.3D.4解析:OM=(1,0),OA+OB=2OM,OM(OA+OB)=2.答案:B4.已知非零向量a,b满足
7、ab,则函数f(x)=(xa+b)2(xR)()A.既是奇函数又是偶函数B.是非奇非偶函数C.是奇函数D.是偶函数解析:ab,ab=0,f(x)=x2|a|2+2x ab+|b|2=|a|2x2+|b|2,定义域是R,f(-x)=|a|2(-x)2+|b|2=|a|2x2+|b|2=f(x),f(x)是偶函数.答案:D5.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为3,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为.解析:ab=12cos 3=1.平行四边形的两条对角线的长分别是|a+b|和|a-b|,|a+b|=(a+b)2=a2+2ab+b2=7
8、,|a-b|=(a-b)2=a2-2ab+b2=3,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为3.答案:36.如图,在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为点P,且AP=3,则APAC=.解析:设AC与BD交于点O,则AC=2AO.则APAC=AP2AO=2AP(AP+PO)=2(AP2+APPO).APBD,APPO,APPO=0.又AP=3,|AP|=3,APAC=2AP2=232=18.答案:187.如图,已知两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为23,点C是以O为圆心的劣弧AB的中点.求:(1)|OA+OB|的值;(2)ABAC的值.解:(1)因为OA和OB的长度为1,夹角
9、为23,所以OAOB=|OA|OB|cos23=-12,所以|OA+OB|=(OA+OB)2 =OA2+2OAOB+OB2=1.(2)因为点C是以O为圆心的劣弧AB的中点,所以AOC=BOC=3,所以OAOC=OBOC=12,所以ABAC=(OB-OA)(OC-OA)=OBOC-OBOA-OAOC+OAOA=12-12-12+1=32.8.设平面内两向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求函数k=f(t)的最小值.分析:由xy,得xy=0,即得到函数关系式k=f(t),从而利用函数的性质求最小值.解:(1)因为ab,所以ab=0.又xy,所以xy=0,即a+(t-3)b(-ka+tb)=0,-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0.因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t2-3t=0,即k=14(t2-3t).(2)由(1)知,k=14(t2-3t)=14t-322-916,即函数k=f(t)的最小值为-916.