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1、02第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法课时过关能力提升基础巩固1下列说法不正确的是().A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列中的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示解析:数列中的项可以相等,如常数列,故选项C不正确.答案:C2已知在数列an中,an=n2+n,则a3等于().A.3B.9C.12D.20解析:a3=32+3=12.答案:C3数列1,3,7,15,31,的一个通项公式为().A.an=2nB.an=2n+1C.an=2n-1D.an=2n-1答案:C4在数列an中,已知an=nn+1,则an是().A.递增数列B.递减数列
2、C.常数列D.摆动数列解析:an=nn+1=1-1n+1,an是递增数列.答案:A5已知数列an的通项公式是an=(-1)n(n+1),则a1+a2+a3+a10等于().A.-55B.-5C.5D.55解析:a1+a2+a3+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.答案:C6设数列2,5,22,11,则25是这个数列的().A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项解析:易得数列的一个通项公式为an=3n-1,令3n-1=25,得n=7,即25是这个数列的第7项.答案:B7已知函数f(x)=3x,点(n,an)在函数f(x)的图象上,则数列an的通项公式an=.解析:点(n,
3、an)在f(x)的图象上,an=f(n)=3n.答案:3n8数列152,245,3510,4817,6326,的一个通项公式为_.解析:观察分子与分母,分母为n2+1,分子为(n+3)2-1,所以其通项为an=(n+3)2-1n2+1=n2+6n+8n2+1.答案:an=n2+6n+8n2+19已知在数列an中,an=5n-3.(1)求a5;(2)判断27是不是数列an的一项.解(1)a5=55-3=22.(2)令5n-3=27,解得n=6,即27是数列an的第6项.10写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:(1)23,415,635,863,1099;(2)1,0,-13,
4、0,15,0,-17,0.解(1)原数列的前5项可化为222-1,2242-1,2362-1,2482-1,25102-1,故它的一个通项公式是an=2n(2n)2-1=2n4n2-1.(2)该数列可写为1,02,-13,04,15,06,-17,08,该数列第n项的分母为n,分子是sinn2的值.故它的一个通项公式是an=sinn2n.能力提升1数列1,0,1,0,1,0,的通项公式如下:an=1+(-1)n+12; an=sin2n2;an= cos2(n-1)2; an=1,n是奇数,0,n是偶数.其中正确的个数是().A.1B.2C.3D.4解析:可以验证均可以是该数列的通项公式.答案
5、:D2数列23,-45,67,-89,的第10项是()A.-1617 B.-1819C.-2021 D.-2223解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一项进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列an的通项公式an=(-1)n+12n2n+1,故a10=-2021.答案:C3已知在数列an中,an=2n2-3n+5,则数列an是().A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列解析:an+1-an=2(n+1)2-3(n+1)+5-(2n2-3n+5)=(2n2+n+4)-(2n2-3n+5)=4n-10,数列an为递增数列.答案:A4数列an的通项公式an=
6、log(n+1)(n+2),则它的前30项之积是().A.15B.5C.6D.log23+log31325解析:a1a2a30=log23log34log3132=lg3lg2lg4lg3lg 32lg 31=log232=log225=5.答案:B5已知数列an的通项公式an=1n(n+2)(nN*),则1120是这个数列的第_项.解析:令an=1120,得1n(n+2)=1120,解得n=10或-12.又nN*,则n=10.答案:106传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,
7、他们将石子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第10个三角形数是.解析:三角形数依次为1,3,6,10,15,第10个三角形数为1+2+3+4+10=55.答案:557已知数列9n2-9n+29n2-1,(1)求这个数列的第10项.(2)98101是不是该数列中的项,为什么?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.(4)在区间13,23内有没有数列中的项?若有,有几项?若没有,请说明理由.(1)解设f(n)=9n2-9n+29n2-1=(3n-1)(3n-2)(3n-1)(3n+1)=3n-23n+1.令n=10,得第10项a10=f(10)=2831.(2)解令3n-23n+1=98101,得9n=300.此方程无正整数解,所以98101不是该数列中的项.(3)证明an=3n-23n+1=3n+1-33n+1=1-33n+1,又nN*,033n+11,0an1.数列中的各项都在区间(0,1)内.(4)解令13an=3n-23n+123,则3n+19n-6,9n-676,n83.76n83.nN*,当且仅当n=2时,上式成立,故区间13,23内有数列中的项,且只有一项为a2=47.