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1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B等于()A.14B.34C.24D.23答案:B2下列结论正确的是()A.若acbc,则abB.若a8b8,则abC.若ab,c0,则acbcD.若ab答案:C3等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a7+a12=30,则S13的值是()A.130B.65C.70D.75解析:因为a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=3
2、0,所以a7=10.所以S13=13(a1+a13)2=13(a7+a7)2=13a7=130.答案:A4已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()A.10B.9C.8D.5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=125.A0,2,cos A=15.cos A=36+b2-4926b,b=5或b=-135(舍).故选D.答案:D5若在等比数列an中,a4=7,a6=21,则a8等于()A.35B.63C.213D.213答案:B6若在ABC中,a=4,b=43,A=30,则角B的度数等于()A.30B.
3、30或150C.60D.60或120答案:D7在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,则角B的取值范围是()A.0,3B.3,C.0,6D.6,答案:A8某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为()A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元解析:设需A,B型车分别为x,y辆(x,yN),则x,y需满足36x+60y900,x+y21,y-x7,xN,yN,设租金为z,则
4、z=1 600x+2 400y,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z最小等于36 800.故选C.答案:C9若x0,y0,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y2(2+1)B.xy2+1C.x+y(2+1)2D.xy2(2+1)解析:xy=1+(x+y)x+y22,(x+y)2-4(x+y)-40,x+y2(2+1),当且仅当x=y=2+1时等号成立.答案:A10若数列an满足a1=0,an+1=an-33an+1(nN*),则a20等于()A.0B.-3C.3D.1解析:由a1=0,an+1=an-33an+1(nN*),得a2=-3,a
5、3=3,a4=0,由此可知数列an是周期数列,周期为3,所以a20=a2=-3.答案:B11若在R上定义运算:ab=ab+2a+b,则满足x(x-2)0的实数x的取值范围为()A.(0,2)B.(-2,1)C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)解析:由题意,得x(x-2)+2x+(x-2)0,即x2+x-20,解得-2x2x-1恒成立,则x的取值范围是()A.(-,-1)(3,+)B.(-,1)(3,+)C.(-,-1)D.(3,+)解析:由题意知A=t|-2t2,设f(t)=(x-1)t+x2-2x+1,由条件知f(t)在区间-2,2上恒为正值.于是有f(-2)0,f(2)0,即x2-4
6、x+30,x2-10.解得x3或x0.a2b2,即ab.答案:ab16已知数列an满足a1=t,an+1-an+2=0(tN*,nN*).记数列an的前n项和的最大值为f(t),则f(t)=.答案:t2+2t4,t为偶数,1+t22,t为奇数三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列an满足a3=5,a10=-9.(1)求an的通项公式;(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.解(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,得a1+2d=5,a1+9d=-9,解得a1=9,d=-2,所以数列an的通项公式为
7、an=11-2n.(2)由(1)知,Sn=na1+n(n-1)2d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.18(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了107海里,求B船的速度.解如图所示,在ABC中,AB=10,AC=107,ABC=120.由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BABCcos 120,即700=100+BC2+10BC,得BC=20.设B船速度为v,行驶时间为8060=43(小时),路程为BC
8、=20海里,则有v=2043=15(海里/时),即B船的速度为15海里/时.19(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-ba=cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)若a=25,求ABC面积的最大值.解(1)因为2c-ba=cosBcosA,所以(2c-b)cos A=acos B.由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,整理得2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B.所以2sin Ccos A=sin (A+B)=sin C.在ABC中,0C,所以sin C0.所以cos A=12.又0A1时,S
9、n2=a1+a2-a12+an-an-12n-1-an2n=1-12+14+12n-1-2-n2n=1-1-12n-1-2-n2n=n2n,Sn=n2n-1.当n=1时,S1=1也符合该公式.综上可知,数列an2n-1的前n项和Sn=n2n-1.21(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?解设片集甲播放x集,片集乙播放
10、y集,则有x+y6,21x+11y86,x0,xN,y0,yN.要使收视率最高,则只要z=60x+20y最大即可.由21x+11y=86,x+y=6,得M(2,4).由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y取得最大值200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列an的前4项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn为数列1anan+1的前n项和,若Tnan+1对任意nN*恒成立,求实数的最小值.解(1)设等差数列an的公差为d,由已知得4a1+6d=14,(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得d=1或d=0(舍去),因此a1=2.故an=n+1.(2)由(1)可知1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,Tn=12-13+13-14+1n-1-1n+2=n2(n+2).Tnan+1对任意nN*恒成立,n2(n+2)(n+2),即n2(n+2)2对任意nN*恒成立.又n2(n+2)2=n2(n2+4n+4)=12n+4n+4116,当且仅当n=2时,取“=”.的最小值为116.