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1、四柱坐标系与球坐标系简介课时过关能力提升基础巩固1已知点P的柱坐标为16,3,5,则其直角坐标为()A.(5,8,83)B.(8,83,5)C.(83,8,5)D.(4,83,5)解析设点P的直角坐标为(x,y,z).=16,=3,z=5,x=cos =8,y=sin =83,z=5,故点P的直角坐标是(8,83,5).答案B2已知点P的柱坐标为2,4,3,若在空间直角坐标系中,点P在xOy平面上的射影为Q,则点Q的柱坐标为()A.(2,0,3)B.2,4,0C.2,4,3D.2,4,0答案B3在球坐标系中,方程r=202,02表示()A.圆B.半圆C.球面D.半球面解析由空间点的球坐标的定义
2、可知,方程r=202,02表示半球面.答案D4已知点M的柱坐标为4,76,1,则它的直角坐标为.解析设点M的直角坐标为(x,y,z).=4,=76,z=1,x=cos =4cos76=-23,y=sin =4sin76=-2.故点M的直角坐标为(-23,-2,1).答案(-23,-2,1)5若点M的柱坐标为7,2,7,点M的球坐标为(r,),则r=.解析(,z)=7,2,7,设点M的直角坐标为(x,y,z),则x2+y2=2=49,r=x2+y2+z2=49+72=72.答案726已知空间点P的柱坐标为6,3,4,则点P关于z轴的对称点的柱坐标为.答案6,43,47把下列用柱坐标表示的点用直角
3、坐标表示出来.(1)(2,0,-2);(2)(,).解设点的直角坐标为(x,y,z).(1)(,z)=(2,0,-2),x=2cos0=2,y=2sin0=0,z=-2,故(2,0,-2)为所求点的直角坐标.(2)(,z)=(,),x=cos =-,y=sin =0,z=,故(-,0,)为所求点的直角坐标.8把下列用球坐标表示的点用直角坐标表示出来.(1)2,6,3;(2)2,4,74.解设点的直角坐标为(x,y,z).(1)(r,)=2,6,3,x=rsincos=2sin6cos3=12,y=rsinsin=2sin6sin3=32,z=rcos=2cos6=3.故12,32,3为所求点的
4、直角坐标.(2)(r,)=2,4,74,x=rsincos=2sin4cos74=1,y=rsinsin=2sin4sin74=-1,z=rcos=2cos4=2.故(1,-1,2)为所求点的直角坐标.9已知点P的柱坐标为2,4,5,点B的球坐标为6,3,6,求这两个点的直角坐标.解设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=2cos4=222=1,y=2sin4=1,z=5.所以点P的直角坐标为(1,1,5).设点B的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=6sin3cos6=63232=364,y1=6sin3sin6=63212=324,z1=6cos3=612=62.所以点B的直角坐标为3
5、64,324,62.10结晶体的基本单位称为晶胞,食盐晶胞的示意图如图所示可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体,图形中的点代表钠原子.如图所示,建立空间直角坐标系O-xyz后,试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.图图解下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),1,2,0,2,2,4,1,2,2,22,2,4;它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),2,4,0,1,2,0,22,4,0.能力提升1已知点M的直角坐标为(3,1,-2),则它的球坐标为()A.22,34,6B.22,4,6C.22,4,3
6、D.22,34,3解析设M的球坐标为(r,),则3=rsincos,1=rsinsin,-2=rcos,解得r=22,=34,=6.答案A2已知点M的球坐标为4,4,4,则点M到Oz轴的距离为()A.22B.2C.2D.4解析设点M的直角坐标为(x,y,z),(r,)=4,4,4,x=rsincos=4sin4cos4=2,y=rsinsin=4sin4sin4=2,z=rcos=4cos4=22,M(2,2,22).故点M到Oz轴的距离为22+22=22.答案A以地球中心为坐标原点,赤道所在平面为xOy平面,由原点指向北极的方向为z轴的正方向,零子午线所在的平面为zOx坐标平面,如图所示.某
7、地在西经60,南纬45,地球的半径为R,则该地的球坐标可以表示为()A.R,3,4 B.R,4,3C.R,34,53D.R,53,34解析根据地球经、纬度的定义及球坐标的定义可得.答案C4若点M的柱坐标为2,54,2,则它的球坐标为()A.2,4,4B.2,4,54C.2,54,4D.2,34,4解析设点M的直角坐标为(x,y,z).点M的柱坐标为2,54,2,x=2cos54,y=2sin54,z=2,即x=-1,y=-1,z=2.点M的直角坐标为(-1,-1,2).设点M的球坐标为(r,),r=(-1)2+(-1)2+(2)2=2,容易知道=54.cos =zr=22,=4.故球坐标为2,
8、4,54.答案B5在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D在原点,另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10),C16,2,10,则此长方体的外接球的体积为.解析由题意知长方体中的|DA|=8,|DC|=6,|DD1|=10,所以外接球的直径为102,半径为52.故所求的体积为43(52)3=1 00023.答案1 000236在柱坐标系中,方程=1表示空间中的什么曲面?方程z=-1表示什么曲面?解方程=1表示以z轴所在直线为轴,以1为底面半径的圆柱侧面;方程z=-1表示与xOy坐标面平行的平面,且此平面与xOy平面的距离为1,并且在xOy平面的下方.7已知点P1的球坐标是4,2,5
9、3,P2的柱坐标是2,6,1,求|P1P2|.解设点P1的直角坐标为(x,y,z).点P1的球坐标是4,2,53,x=4sin2cos53=4112=2,y=4sin2sin53=41-32=-23,z=4cos2=0.故点P1的直角坐标为(2,-23,0).设点P2的直角坐标为(x1,y1,z1).点P2的柱坐标是2,6,1,x1=2cos6=232=3,y1=2sin6=212=1,z1=1.故点P2的直角坐标为(3,1,1).|P1P2|=(2-3)2+(-23-1)2+(0-1)2=21.8在球坐标系中,求两点P3,6,4,Q3,6,34间的距离.解设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=3sin6cos4=324,y=3sin6sin4=324,z=3cos6=332=332.所以P324,324,332.设点Q的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=3sin6cos34=-324,y1=3sin6sin34=324,z1=3cos6=332.所以点Q-324,324,332.所以|PQ|=324+3242+324-3242+332-3322=322.故P,Q两点间的距离为322.