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1、02第二讲参数方程一曲线的参数方程课时过关能力提升基础巩固1方程x=sin,y=cos2(为参数)所表示的曲线上一个点的坐标是()A.(2,7)B.13,23C.12,12D.(1,0)解析y=cos 2=1-2sin2,又sin =x,所以y=1-2x2(-1x1).令x=12,代入得y=12.答案C2下列方程可以作为x轴的参数方程的是()A.x=t2+1,y=0(t为参数)B.x=0,y=3t+1(t为参数)C.x=1+sin,y=0(为参数)D.x=4t+1,y=0(t为参数)解析因为x轴上的点的纵坐标为0,横坐标可以为任意实数,所以选D.答案D3将参数方程x=2+sin2,y=sin2
2、(为参数)化为普通方程为()A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2x3)D.y=x+2(0y1)解析转化为普通方程y=x-2,x2,3,y0,1,故选C.答案C4曲线x=-1+cos,y=2+sin(为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上解析由已知得cos=x+1,sin=y-2,消去参数得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x上.故选B.答案B5由方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0(t为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是()A.一个定点B.一个椭圆C.一条抛
3、物线D.一条直线解析方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0可变形为(x-2t)2+(y-t)2=4,所以这组圆的圆心坐标为(2t,t).令x=2t,y=tx-2y=0.答案D6将参数方程x=t+1t,y=t2+1t2(t为参数)化为普通方程为.解析由x=t+1t,得x2=t2+1t2+2.y=t2+1t2,x2=y+2.t2+1t22,当且仅当t2=1时,取等号.y2.故普通方程为x2-y=2(y2).答案x2-y=2(y2)7已知圆的参数方程为x=2+4cos,y=-3+4sin(为参数,02),若圆上一点P对应的参数=43,则点P的坐标是.解析当=43时,x=2+4cos43=0,
4、y=-3+4sin43=-33,所以点P的坐标是(0,-33).答案(0,-33)8在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为x=2cos,y=2+2sin(为参数),则坐标原点到该圆的圆心的距离为.解析由圆C的参数方程知其普通方程为x2+(y-2)2=4,则圆心C的坐标为(0,2).故所求距离为2.答案29曲线x=1,y=sint+1(t为参数)与圆x2+y2=4的交点坐标为.解析sin t-1,1,y0,2.方程x=1,y=sint+1表示的曲线是线段x=1(0y2).令x=1,由x2+y2=4,得y2=3.0y2,y=3.故所求坐标为(1,3).答案(1,3)10已知质点沿以原点为圆心,半径为
5、2的圆做匀角速运动,角速度为60 rad/s,试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.解如图,在运动开始时,质点位于点A处,此时t=0,设动点M(x,y),其对应的时刻为t,由图可知,x=2cos,y=2sin.又=60t(t以s为单位),故所求的参数方程为x=2cos60t,y=2sin60t(t为参数,t0).能力提升1若P(2,-1)为圆O:x=1+5cos,y=5sin(为参数,00),求曲线C的普通方程.解因为x2=t+1t-2,所以x2+2=t+1t=y3,y=3t+1t6,当且仅当t=1时取等号.故曲线C的普通方程为3x2-y+6=0(y6).6求圆x2+y2=9上的动点P
6、与定点(1,1)之间距离的最小值.解设P(3cos ,3sin ),则点P到定点(1,1)的距离为d()=(3cos-1)2+(3sin-1)2=-6(cos+sin)+11=-62sin+4+11.当sin+4=1时,d()取最小值11-62.7已知点M(x,y)在圆x2+y2=1上移动,求点P(x+y,xy)的轨迹.解设点M(cos ,sin )(02),点P(x,y),则x=cos+sin,y=cossin.2-2,得x2-2y=1,即x2=2y+12.因为x=cos +sin =2sin+4,y=cos sin =12sin 2,所以|x|2,|y|12.故所求点P的轨迹为抛物线x2=
7、2y+12的一部分|x|2,|y|12.8在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos ,0,2.(1)求半圆C的参数方程;(2)设点D在半圆C上,半圆C在点D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D的坐标.解(1)半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得半圆C的参数方程为x=1+cost,y=sint(t为参数,0t).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知半圆C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为半圆C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD的斜率与l的斜率相同,即tan t=3,t=3.故点D的直角坐标为1+cos3,sin3,即32,32.