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1、第二讲检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若ab0,则下列不等式中一定成立的是()A.a+1bb+1aB.bab+1a+1C.a-1bb-1aD.2a+ba+2bab解析：ab0,1b1a0.a+1bb+1a.答案：A2已知xyz,且x+y+z=1,则下列不等式中恒成立的是()A.xyyzB.xzyzC.x|y|z|y|D.xyxz解析：令x=2,y=0,z=-1,可排除选项A,B,C,故选D.答案：D3已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的
2、大小关系是()A.cbaB.acbC.cbaD.acb解析：c-b=(a-2)20,cb.由题中两式相减,得b=a2+1,b-a=a2-a+1=a-122+340.ba.cba.答案：A4已知ba0,且a+b=1,那么()A.2aba4-b4a-ba+b2bB.2aba+b2a4-b4a-bbC.a4-b4a-b2aba+b2bD.2aba+b2b0恒成立,则代数式a+3b的值()A.恒为正B.恒为非负C.恒为负D.不确定解析：令f(x)=ax+2b,则在区间0,1上,若a0,则f(x)min=f(0)=2b0;若a0.故a+3b=b+a+2b0.答案：A7若x,yR+,且xy,则下列四个数中
3、最小的一个是 ()A.121x+1yB.1x+yC.1xyD.12(x2+y2)解析：121x+1y1221xy=1xy,1xy12xy1x+y.由x+y222x2+y21(x+y)212(x2+y2)1x+y12(x2+y2).故选D.答案：D8要使3a-3b3a-b成立,a,b应满足的条件是()A.abbB.ab0,且abC.ab0,且a0,且ab或ab0,且ab解析：3a-3b3a-ba-b+33ab2-33a2ba-b3ab20时,有3b3a,即ba;当ab3a,即ba.答案：D9用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60”时,假设应为()A.假设三个内角都不大于60B.
4、假设三个内角都大于60C.假设三个内角至多有一个大于60D.假设三个内角至多有两个大于60答案：B10在ABC中,A,B,C分别为边a,b,c所对的角,且a,b,c成等差数列,则角B适合的条件是()A.0B4B.0B3C.0B2D.2B解析：2b=a+c,cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-(a+c)242ac=3(a2+c2)-2ac8ac=3(a2+c2)8ac-146ac8ac-14=12,当且仅当a=b=c时,等号成立.余弦函数在0,2内为减函数,02+6.a-b0,即ab.同理可得bc.abc.答案：abc12已知a,b,c,d都为正数,且S=aa+b+c+bb+c+d+
5、cc+d+a+da+b+d,则S的取值范围是.解析：由放缩法,得aa+b+c+daa+b+caa+c;ba+b+c+dbb+c+dbd+b;ca+b+c+dcc+d+acc+a;da+b+c+ddd+a+bdd+b.以上四个不等式相加,得1S2.答案：(1,2)13已知0a1,则1a+41-a的最小值为.解析：因为(3a-1)20,所以9a2-6a+10.所以1+3a9a(1-a).因为0a0时因为(ad-bc)20,所以a2d2+b2c22abcd,所以不等式成立三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知m0,a,bR,求证:a+mb1+
6、m2a2+mb21+m.证明：因为m0,所以1+m0.所以要证a+mb1+m2a2+mb21+m,即证(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20.而(a-b)20显然成立,故a+mb1+m2a2+mb21+m.17(8分)求证:2(n+1-1)1+12+13+1n2k+k+1=2(k+1-k),kN+,1+12+13+1n2(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=2(n+1-1).又1k2k+k-1=2(k-k-1),kN+,1+12+13+1n1+2(2-1)+(3-2)+(n-n-1)=1+2(n-1)=2n-11,则a,b,c,d中至少有
7、一个负数.证明：假设a,b,c,d中至少有一个负数不成立,则a,b,c,d都为非负数,即a0,b0,c0,d0.因为a+b=1,c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1,即(ac+bd)+(bc+ad)=1.因为a,b,c,d均为非负数,于是有bc+ad0,故由上式可以知道ac+bd1,这与已知条件中的ac+bd1矛盾,所以假设不成立.故a,b,c,d中至少有一个负数.19(10分)已知数列an的前n项和Sn=2n2+2n,数列bn的前n项和Tn=2-bn.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)设cn=an2bn,证明：当n3时,cn+1cn.解: (1)Sn=2n2+2n,当n2时,Sn-
8、1=2(n-1)2+2(n-1).an=Sn-Sn-1=4n(n2).当n=1时,S1=4,符合上式,数列an的通项公式为an=4n.又Tn=2-bn,当n2时,Tn-1=2-bn-1.bn=Tn-Tn-1=2-bn+bn-1-2,即2bn=bn-1.bnbn-1=12.而T1=b1=2-b1,b1=1.数列bn的通项公式为bn=112n-1=12n-1.(2)证明：由(1),知cn=(4n)2bn=16n212n-1,cn+1=16(n+1)+1cn=16(n+1)212n16n212n-1=121+1n2.当n3时,1+1n432,cn+1cn12(2)2=1.又由cn=an2bn可知,c
9、n+1和cn均大于0,cn+1cn.20(10分)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+2,S3=9+32.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=Snn(nN+),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.解: (1)由已知得a1=2+1,3a1+3d=9+32,d=2.故an=2n-1+2,Sn=n(n+2).(2)证明：由(1)得bn=Snn=n+2.假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则bq2=bpbr,即(q+2)2=(p+2)(r+2).(q2-pr)+2(2q-p-r)=0.p,q,rN+,q2-pr=0,2q-p-r=0.p+r22=pr,(p-r)2=0.p=r.与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.