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1、2.3.2抛物线的几何性质课时过关能力提升1.已知抛物线的焦点坐标是(2,0),则抛物线的标准方程为()A.x2=8yB.x2=-8yC.y2=8xD.y2=-8x答案:C2.抛物线y2=-4mx(m0)的焦点为F,准线为l,则m表示()A.F到l的距离B.F到y轴的距离C.F点的横坐标D.F到l的距离的14答案:B3.抛物线y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,若|PF|=4,则点P坐标为()A.(3,23)B.(3,-23)C.(3,23)或(3,-23)D.(-3,23)答案:C4.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0的一个交点坐标为(1,2),则抛物线的焦点到该直线的距离是()A.
2、332B.255C.7510D.172解析:点(1,2)在抛物线y2=2px和直线ax+y-4=0上,所以p=2,a=2,抛物线的焦点为(1,0).焦点到直线2x+y-4=0的距离为|21-4|22+1=25=255.答案:B5.已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()A.12B.1C.2D.4解析:抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2,圆(x-3)2+y2=16的圆心为(3,0),半径为4.故有3+p2=4,所以p=2.答案:C6.抛物线ax2=y的焦点坐标是.答案:0,14a7.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,
3、则动圆必过定点.解析:直线x+2=0即x=-2是抛物线y2=8x的准线,由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线y2=8x的准线的距离,即动圆的半径等于圆心到抛物线y2=8x的焦点的距离.故动圆必过抛物线的焦点(2,0).答案:(2,0)8.下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=6,所以水面宽26 m.答案:269.定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,求AB的中点M到
4、y轴的距离的最小值,并求出此时AB的中点M的坐标.分析:如图,线段AB的中点M到y轴距离的最小值,就是横坐标的最小值,这是中点坐标的问题,因此只要研究A,B两点的横坐标之和最小即可.解: F是抛物线y2=x的焦点,A,B两点到准线的垂线分别是AC,BD,过AB的中点M作准线的垂线MN,N为垂足,则|MN|=12(|AC|+|BD|),由抛物线的定义可知|AF|=|AC|,|BD|=|BF|,|MN|=12(|AF|+|BF|)12|AB|=32.设点M为(x,y),则|MN|=x+14,则x32-14=54.当弦AB过点F时,等号成立,此时点M到y轴的最小距离为54,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2x,当x=54时,y1y2=-p2=-14.(y1+y2)2=y12+y22+2y1y2=2x-12=2.y1+y2=2,即y=22.M的坐标为54,22或54,-22.