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1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列语句中是命题的有()空集是任何集合的真子集.3x-20.垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?把门关上.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:A2.下列命题中的假命题是()A.xR,lg(x-1)=0B.xR,tan x=1C.xR,(x-1)30D.xR,3x0答案:C3.设曲线y=x2在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为()A.(3,9)B.(-3,9)C.32,94 D.-32,94答案:C4.若命题“如果p,那么q”为真,则()
2、A.qpB. pqC. qpD. qp答案:C5.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析:抛物线y2=8x的焦点是F(2,0),准线方程是x=-2,如图所示,|PA|=4,|AB|=2,所以|PB|=|PF|=6,故选B.答案:B6.若f(x)=lnxx,abe,则有()A.f(a)f(b)B.f(a)1解析:f(x)=1-lnxx2(x0).令f(x)0,即1-ln xe.则f(x)在(e,+)上是减函数,又abe,所以f(a)f(b).答案:B7.若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为54,则它的两条渐近线的方程为()A
3、.16x9y=0B.9x16y=0C.4x3y=0D.3x4y=0解析:由离心率e=ca=54,c2=a2+b2,得b2a2=916.则ba=34,所以渐近线方程为y=34x,即3x4y=0.答案:D8.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52解析:由题意知ba=24,即a=2b,故c=a2+b2=5b,所以e=52.答案:D9.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()A.0a1B.a1C.a1D.0a1或ab0)的两个焦点,过点F2作椭圆的弦AB,若AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=32,则椭圆的方程
4、是()A.x24+y23=1B.x216+y23=1C.x216+y212=1D.x216+y24=1解析:因为AF1B的周长为4a=16,所以a=4.又e=ca=c4=32,所以c=23.故b2=a2-c2=4,所以椭圆的方程为x216+y24=1.答案:D11.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f(5)=()A.12B.1C.2D.0解析:由切线方程知,函数y=f(x)在点P(5,f(5)处切线斜率为-1,即f(5)=-1.将x=5代入切线方程y=-x+8得y=3,所以f(5)=3,故f(5)+f(5)=2.答案:C12.设函数f(x)=x(x+k)
5、(x+2k)(x-3k),且f(0)=6,则k的值为()A.0B.-1C.3D.-6解析:令g(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k),则f(x)=xg(x).故f(x)=g(x)+xg(x).又因为f(0)=6,所以g(0)=-6k3=6,解得k=-1.答案:B二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.抛物线y=14x2的焦点坐标为.答案:(0,1)14.已知命题p:xR,x20;若椭圆x216+y225=1的两个焦点为F1,F2,且弦AB过点F1,则ABF2的周长为16;若a0,-1bab2a.所有正确命题的序号为.解析:若p且q为真,则p,q都真
6、,故p或q为真;若p或q为真,则p,q可能只有一个为真,故p且q可能为假.所以“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件.为假命题.由存在性命题的否定形式知,是真命题.由椭圆定义及已知条件得ABF2的周长=4a=45=20.故是假命题.因为a0,-1b0,ab2ab2.因为-1b0,所以b21.又因为aa.故是真命题.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)求满足下列条件的抛物线方程:(1)过点(-2,3);(2)焦点在x轴上,此抛物线上的点A(4,m)到准线的距离为6.分析:(1)分焦点在x轴和y轴两种情况设抛物线方程,将点
7、的坐标代入即可;(2)设其方程为y2=2px(p0),通过此抛物线上的点到准线的距离6=4+p2,求出p即可.解:(1)当抛物线的焦点在x轴上时,设其方程为y2=mx.抛物线过点(-2,3),32=-2m,解得m=-92.故所求方程为y2=-92x.当抛物线的焦点在y轴上时,设其方程为x2=my.抛物线过点(-2,3),(-2)2=3m,解得m=43.故所求方程为x2=43y.(2)抛物线的焦点在x轴上且过A(4,m),可设其方程为y2=2px(p0).由题意得6=4+p2,解得p=4.故所求方程为y2=8x.18.(12分)已知命题p:(4x-3)21;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+
8、1)0.若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.分析:写出命题p和q,分别求出其对应的解集A和B.根据p是q的必要不充分条件,可知BA,然后求出a即可.解: p:(4x-3)21; q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0.解(4x-3)21,得x1或x0,得xa+1或xa.p是q的必要不充分条件,a+11,a12,两等号不能同时成立,解得0a12.故a的取值范围为0,12.19.(12分)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.分析:利用用导数求函数单调区间和最值的方法求解.解:
9、(1)f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,即-3x2+6x+93或x-1,故f(x)的单调递减区间为(-,-1)和(3,+).(2)令f(x)=0,即-3x2+6x+9=0,解得x=-1或x=3(舍).当-2x-1时,f(x)0,故f(x)在(-2,-1)内单调递减;当-1x0,故f(x)在(-1,2)上单调递增.f(x)的最大值在区间端点值处取得,最小值在x=-1处取得.f(-2)=2+ab0),然后利用设而不求的方法解题.解:根据已知条件可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0).设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组y2a2+
10、x2b2=1,y=3x-2.将代入化简整理,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.由根与系数的关系,得x1+x2=12b2a2+9b2.又弦的中点的横坐标为12,所以12b2a2+9b2=1,由焦点坐标为(0,52),知c=52,故a2=b2+(52)2.与联立,解得a2=75,b2=25.故所求椭圆方程为y275+x225=1.21.(12分)已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c,(1)若f(x)在(-,+)上是增函数,求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x-1,2时,f(x)c2恒成立,求c的取值范围.分析:(1)f(x)在(-,+)上是增函数方
11、程f(x)=0的判别式0.然后解不等式即可.(2)由f(x)在x=1处取得极值知,x=1是f(x)=0的根,可求得b的值;由x-1,2时,f(x)c2恒成立f(x)在-1,2上的最大值小于c2,可求得c的范围.解:(1)由f(x)=x3-12x2+bx+c得,f(x)=3x2-x+b.f(x)在(-,+)上是增函数,=1-12b0,解得b112.故b的取值范围为112,+.(2)f(x)在x=1处取得极值,f(1)=2+b=0,b=-2.故f(x)=x3-12x2-2x+c,f(x)=3x2-x-2.由f(x)=0,解得x=-23或x=1.当x0,当-23x1时,f(x)1时,f(x)0,故f
12、(x)在x=-23处取得极大值,f-23=2227+c.当x-1,2时,f(-1)=12+c,f(2)=2+c.此时,f(x)max=f(2)=2+c.由题意得,2+c2或c-1.故c的取值范围为(-,-1)(2,+).22.(14分)设F1,F2为椭圆E:x2+y2b2=1(0b0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组y=x+c,x2+y2b2=1.化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.则x1+x2=-2c1+b2,x1x2=1-2b21+b2.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=2|x2-x1|,即43=2|x2-x1|.则89=(x1+x2)2-4x1x2=4(1-b2)(1+b2)2-4(1-2b2)1+b2=8b4(1+b2)2,解得b=22.所以b的值为22.