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1、03第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入第1课时复数的概念及复数相等课时过关能力提升1.对于实数a,b,下列结论正确的是()A.a+bi是实数B.a+bi是虚数C.a+bi是复数D.a+bi0答案:C2.以2i-5的虚部为实部,以5i+2i2的实部为虚部的新复数是()A.2-2iB.2+2iC.-5+5iD.5+5i解析:2i-5的虚部为2,5i+2i2的实部为-2,所以新复数为2-2i.答案:A3.已知复数z=(a-1)+i,若z是纯虚数,则实数a等于()A.2B.1C.0D.-1解析:z为纯虚数,a-1=0,故a=1.答案:B4.已知复数z=(a2-1)+(a-2)i(
2、aR),则“a=1”是“z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若a=1,则z=-i为纯虚数;若z为纯虚数,则a=1.所以“a=1”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.答案:A5.已知z=(sin -1)+i(sin -cos )(R),则z为纯虚数时,的取值是()A.=2k+2(kZ)B.=2k-2(kZ)C.=2k+23(kZ)D.=2k-23(kZ)解析:由z为纯虚数知,sin-cos0,sin-1=0,即sincos,sin=1,=2k+2,kZ.答案:A6.若复数z=m+(m2-1)i(mR)满足z0,则m=.解析:由z0,知m2
3、-1=0,mb,则a+ib+i;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=1;两个虚数不能比较大小.其中正确的命题序号是.解析:当a=-1时,(a+1)i是实数,不是纯虚数;a+i与b+i不能比较大小,故错误;应满足x2-1=0,且x2+3x+20,解得x=1.故只有正确.答案:9.实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i:(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?(4)是零?解:(1)当k2-5k-6=0时,zR,即k=6或k=-1.故当k=6或k=-1时,zR.(2)当k2-5k-60时,z是虚数,即k6,且k-1.故当k6且k-1时,z是虚数.(3
4、)当k2-3k-4=0,k2-5k-60时,z是纯虚数,解得k=4.故当k=4时,z是纯虚数.(4)当k2-3k-4=0,k2-5k-6=0时,z=0,解得k=-1.故当k=-1时,z是零.10.已知关于t的一元二次方程(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0(x,yR).(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程;(2)求方程的实根的取值范围.分析设出方程的实根,根据复数相等求解(1),根据直线与圆的位置关系求解(2).解:(1)设实根为t0,则(t02+2t0+2xy)+(t0+x-y)i=0.根据复数相等的充要条件,得t02+2t0+2xy=0,t0+x-y=0.由,得t0=y-x.代入,得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.所以所求点(x,y)的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(2)由,得圆心为(1,-1),半径r=2,直线t0=y-x与圆有公共点,则|1-(-1)+t0|22,即|t0+2|2,所以-4t00.故方程的实根的取值范围是-4,0.