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1、2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法1已知x52,则f(x)=x2-4x+52x-4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析：f(x)=(x-2)2+12(x-2)=x-22+12(x-2),设x-2=t12,则t2+12t214=1.当且仅当t=1,即x=3时,f(x)min=1.答案：D2如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%,那么经过x(x(0,+)年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致应为图中的()解析：由f(0)=1,排除选项B,平均增长率问题属指数函数型,故选D.答案：D3设a,bR,已知p:a=b;q:a+b22a2+
2、b22,则p是q成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当a=b时,a+b22=a2,a2+b22=a2,pq.当a+b22a2+b22时,得不到a=b,q/ p.答案：B4设P是ABC所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则()A.PA+PB=0B.PC+PA=0C.PB+PC=0D.PA+PB+PC=0解析：BC+BA=2BP,由向量加法的平行四边形法则知P为AC中点.如图.PC+PA=0.答案：B5已知ab0,且ab=1,若0cqB.plogc14ab=logc140,qp.故选B.答案：B6在不等边三角形中,a为最长边,要想得到A为钝角的
3、结论,三边a,b,c应满足的条件是.解析：由cos A=b2+c2-a22bc0,知b2+c2-a2b2+c2.答案：a2b2+c27下列正确结论的序号是.若a,bR,则ba+ab2;若a,bR,则lg a+lg b2lgalgb;若xR,则x+4x=|x|+4|x|2|x|4|x|=4;若xR,则y=x2+3x2+2的最小值是2.解析：当a=-1,b=1时,错.当lg a,lg b均为负数时,错.因为x与4x同号,所以x+4x=|x|+4|x|4,正确.y=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+22,当且仅当x2+2=1,即x2=-1时等号成立,显然错.答案： 8已知,为实数,给出下列三个
4、论断:0;|+|5;|22,|22.以其中的两个论断为条件,另一个论断为结论写命题,则你认为正确的命题是.(填序号)解析：0,|22,|22,|+|2=2+2+28+8+28=3225.|+|5.答案：9已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.证法一(分析法)要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,即证1a+b+1b+c=3a+b+c,a+b+ca+b+a+b+cb+c=3,ca+b+ab+c=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),只需证c2+a2=ac+
5、b2,只需证b2=c2+a2-2accos 60,只需证B=60.因为A,B,C成等差数列,所以B=60.所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.证法二(综合法)因为ABC的三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60.由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos 60,即c2+a2=ac+b2.两边加ab+bc,得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c).两边除以(a+b)(b+c),得ca+b+ab+c=1.所以ca+b+1+ab+c+1=3,即1a+b+1b+c=3a+b+c.所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1. 10某同学在一次研究性学习中
6、发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-12sin 30=1-14=34.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34.证明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+34cos2+32sin cos +14sin2-32sin cos -12sin2=34sin2+34cos2=34.