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1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1复数(1-i)22i=()A.1B.-1C.iD.-i解析：(1-i)22i=1-2i+i22i=-2i2i=-1.答案：B2下列命题中,真命题的个数为()函数y=x不存在极值点;x=0是函数y=|x|的极小值点;x=0是函数y=x3的极值点;在闭区间a,b上连续的函数一定存在极大值与极小值.A.4B.3C.2D.1解析：正确,错误.答案：C3已知f(x)=x2+2xf(1),则f(0)=()A.0B.-4C.-2D.2解析：f(x)=2x+2
2、f(1),f(1)=21+2f(1),解得f(1)=-2,f(x)=x2-4x,f(x)=2x-4,f(0)=-4.答案：B4.2 -2(sin x+cos x)dx的值是()A.0B.4C.2D.4答案：C5对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体()A.各正三角形内的点B.各正三角形某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形各边的中点答案：C6设x+y=1,x,y(0,+),则x2+y2+xy()A.有最小值14B.有最小值34C.有最小值-14D.有最小值-34解析：x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy.因为x+y=1,所以xyx+
3、y22=14,-xy-14,所以1-xy34,因此最小值为34.答案：B7曲线y=2sin x0x32与x轴所围成的图形的面积为()A.4B.2C.52D.6解析：结合图形,有S=302 2sin xdx=6.答案：D8下列函数在区间(-1,1)内不是减函数的是()A.y=ex+xB.y=-xC.y=x3-6x2+9x+2D.y=x2-2x+1解析：因为y=ex+1在x(-1,1)时,ex+10,所以y=ex+x是增函数,故选A.答案：A9设f(n)=1+12+13+13n-1(nN+),那么f(n+1)-f(n)=()A.13n+2B.13n+13n+1C.13n+1+13n+2D.13n+
4、13n+1+13n+2解析：f(n+1)=1+12+13+13n-1+13n+13n+1+13n+2,因此f(n+1)-f(n)=13n+13n+1+13n+2.答案：D10若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为()A.a3B.a=3C.a3D.0a0,则p=(ab)a+b2,q=abba的大小关系是()A.pqB.pqC.pqD.p0,q0,所以pq=(ab)a+b2abba=aa-b2bb-a2=aba-b2.因为a-b20,所以aba-b21,所以pq.答案：A12一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步,然后
5、再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标,且记P(0)=0,则下列结论错误的是()A.P(3)=3B.P(5)=1C.P(2 007)P(2 006)D.P(2 003)P(2 006)解析：机器人的运动是以5秒为一个周期,即每5秒前进一步.因此P(2 007)=P(5401+2)=P(2)+401=403,P(2 006)=P(5401+1)=402,P(2 003)=P(5400+3)=403.故选项D错误.答案：D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线
6、上)13若z1=a+2i,z2=3-4i,且z1z2为纯虚数,则实数a的值为.解析：设z1z2=bi(bR,且b0),则z1=biz2,即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi,解得a=4b,2=3b,解得a=83.答案：8314若函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个交点,则实数a的取值范围是.解析：f(x)=3x2-3a2,令f(x)=0,得x=a,由题意,a0时,f(a)=a3-3a3+1-1,-1a0时,f(-a)=-a3+3a3+13,a31,0a0),g(x)=xa(a0);f(x)=-13x,g(x)=-log3(-x).其中有且仅有一对函数“既互为反函数,
7、又是各自定义域上的递增函数”,则这样的两个函数的导数分别为f(x)=,g(x)=.答案：13xln 3-1xln316如图,对于函数f(x)=x2(x0)图象上任意两点A(a,a2),B(b,b2),线段AB必在弧AB上方,设点C分AB的比为,则由图象中C在C1上方可得不等式a2+b21+a+b1+2,请分析函数f(x)=ln x(x0)的图象,类比上述不等式可以得到.解析：根据类比推理的方法,结合图象特点及式子特点可得结果.答案：lna+lnb1+0,l0).分析：曲线与x轴的交点为(l,0),曲线与x,y轴在第一象限所围成的图形的面积为0l b1-xlmdx.解由所给曲线方程可得x=l时,
8、y=0,所以曲线与x,y轴在第一象限所围成的图形的面积为S=0l b1-xlmdx=b0ldx-l0lxlmdxl=bx|0l-lm+1xlm+1|0l=bl1-1m+1.由bl1-1m+1=23bl,得m=2.19(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为l:3x-y+1=0,且23是y=f(x)的一个极值点.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值.分析：由条件可知f(1)=3,f23=0,且点(1,4)在曲线上,从而求得a,b,c的值.借助于导数求f(x)在-3,1上的最值.解(1)f(x)=3x2+2ax+
9、b,当x=1时,由切线方程知y=4,f(1)=3,f23=0,f(1)=4,即3+2a+b=3,4a+3b+4=0,1+a+b+c=4,解得a=2,b=-4,c=5.(2)由(1),得f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4.令f(x)=0,得x1=-2,x2=23.当x变化时,f(x),f(x)的取值及变化情况如下表:x-3(-3,-2)-2-2,232323,11f(x)+0-0+f(x)81395274由上表,知ymax=13,ymin=9527.20(12分)在x轴上有点列An(an,0)(nN+),其中a0=0,an为递增数列,以AnAn+1为一边的正三角形的另一
10、顶点Bn在曲线y=x上.(1)求a1,a2,a3;(2)求an.分析：根据条件可求得递推公式,从而求出a1,a2,a3.应用归纳推理得通项an,再应用数学归纳法证明.解设Bn(xn,yn),由已知xn=12(an+an+1),yn=32(an+1-an).又yn=xn,32(an+1-an)=12(an+an+1),3(an+1-an)2=2(an+1+an),又an+1an,解得an+1=3an+1+12an+13.(1)由a0=0,得a1=23,a2=63=2,a3=123=4.(2)猜测an=13n(n+1),nN+.下面用数学归纳法证明:当n=1时,a1=23=1312,公式成立.假设
11、当n=k,kN+时公式成立,即ak=13k(k+1),则当n=k+1时,ak+1=3ak+1+12ak+13=k(k+1)+1+4k(k+1)+13=k2+k+1+2k+13=k2+3k+23=(k+1)(k+2)3=(k+1)(k+1)+13,当n=k+1时公式也成立,由和,知an=n(n+1)3对于一切n(nN+)都成立.21(12分)如图,某吊车的车身高为2.5米,吊臂长24米,现要把一个直径为6米,高3米的圆柱形屋顶水平地吊到14米高的屋基上安装,在吊装过程中屋顶不能倾斜(注:在吊臂的旋转过程中可以依靠吊起屋顶的缆绳的伸缩使得屋顶保持水平状态),问能否吊装成功?分析：本题是一道实际应用
12、题,通过解三角形得到函数解析式,再应用导数求解.解设吊臂与水平面的倾斜角为x,屋顶底部与地面间的距离为h,由已知,得24sin x+2.5=h+3+3tan x,h=24sin x-3tan x-120x91.7-12=14.814.故可以吊装成功.22(12分)设f(x)是定义在-1,1上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于x=1对称,当x2,3时,g(x)=2t(x-2)-4(x-2)3(t为常数).(1)求f(x)的表达式;(2)当tR时,求f(x)在0,1上的最大值及取最大值时x的值.分析：先运用函数的奇偶性与对称性求出函数解析式,然后运用导数以及分类讨论思想研究出f(x)在0,1上
13、的单调性,根据单调性求最值.解(1)设x-1,0,则2-x2,3.又因为g(x)与f(x)关于x=1对称,所以f(x)=g(2-x)=2t(2-x-2)-4(2-x-2)3=4x3-2tx.又因为f(x)在-1,1上为偶函数,所以f(x)=4x3-2tx,x-1,0,2tx-4x3,x(0,1.(2)f(x)=2tx-4x3,x0,1,f(x)=2t-12x2.当t0时,f(x)0,f(x)在0,1上为减函数,所以f(x)在0,1上的最大值为f(0)=0.当t0时,令f(x)=2t-12x2=0,得x=t6或x=-t6(舍去).当t61,即01,即t6时,f(x)在0,1上为增函数,所以f(1)=2t-4最大.综上可得,当t0时,f(x)在0,1上的最大值为0,此时x=0;当06时,f(x)在0,1上的最大值为2t-4,此时x=1.