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1、第一章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1与极坐标-2,6不表示同一点的极坐标是() A.2,76B.2,-76C.-2,-116D.-2,136答案:B2将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的13,得到的曲线方程为()A.Fx2,3y=0B.F2x,y3=0C.F3x,y2=0D.Fx3,2y=0解析:设(x,y)经过伸缩变换变为(X,Y),所以X=2x,Y=13y,则x=12X,y=3Y,代入F(x,y)=0得F12X,3Y=0,即F12x,3y=0.
2、答案:A3若1=20,1+2=,则点M1(1,1)与点M2(2,2)的位置关系是()A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点垂直于极轴的直线对称D.重合答案:C4以-2,4为圆心,半径为2的圆的极坐标方程为()A.=-(sin +cos )B.=sin +cos C.=-2(sin +cos )D.=2(sin +cos )答案:C5极坐标方程4sin22=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:4sin22=5,41-cos2=2-2cos =5,化为直角坐标方程为2x2+y2-2x=5,即y2=5x+254,该方程表示抛物线.答案:D6在极坐标系中有如下三
3、个结论:点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;tan =1(0)与=4(0)表示同一条曲线;=3与=-3表示同一条曲线.其中正确的是()A.B.C.D.解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故错误;tan =1不仅表示=4这条射线,还表示=54这条射线,故错误;=3与=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故正确.答案:D7若点P的直角坐标为(1,-3),则点P的极坐标为()A.2,3B.2,43C.2,-3D.2,-43解析:P(1,-3),=|OP|=2,OP与x轴的正方向所成的
4、角为53,点P的一个极坐标为2,53,故2,-3可为点P的一个极坐标.答案:C8极坐标方程=cos 与cos =12的图形是()解析:把cos =12化为直角坐标方程,得x=12,又圆=cos 的圆心为12,0,半径为12,故选项B正确.答案:B9直角坐标为(3-3,3+3)的点的极坐标可能是()A.26,-512B.26,512C.-26,712D.26,712解析:=(3-3)2+(3+3)2=26(0),点(3-3,3+3)在第一象限,tan =3+33-3=1+331-33=tan512,点(3-3,3+3)的极坐标为26,512.答案:B10极坐标系内曲线=2cos 上的动点P与定点
5、Q1,2的最短距离等于()A.2-1B.5-1C.1D.2解析:将=2cos 化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即2-1.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在极坐标系内,点2,2关于直线cos =1的对称点的极坐标为.解析:点2,2的直角坐标为(0,2),直线cos =1的直角坐标方程为x=1,所以(0,2)关于x=1的对称点为(2,2),它的极坐标为22,4.答案:22,412两条直线sin+4=2 016,sin-4=2 017的位置关系是.解
6、析:两直线方程可化为x+y=2 0162,y-x=2 0172,故两条直线垂直.答案:垂直13在极坐标系中,圆=2上的点到直线(cos +3sin )=6的距离的最小值是.解析:圆的直角坐标方程为x2+y2=4,直线的直角坐标方程为x+3y-6=0,所以圆心到直线的距离为|-6|1+3=3,所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.答案:114已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos =3,=4cos 0,02,则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析:cos=3,=4cos,4cos2 =3,2(1+cos 2)=3.cos 2=12.02,=6.代入得=23.曲线C1与C2交点的极坐标为23,6
7、.答案:23,615在极坐标系中,由三条直线=0,=3,cos +sin =1围成的图形的面积是.解析:三条直线=0,=3,cos +sin =1在直角坐标系下对应的直线方程为y=0,y=3x,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),B3-12,3-32故SAOB=123-321=3-34.答案:3-34三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换X=2x,Y=2y后,曲线C变为曲线(X-5)2+(Y+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.解:将X=2x,Y=2y代入(X-5)2+
8、(Y+6)2=1,得(2x-5)2+(2y+6)2=1,即x-522+(y+3)2=14,故曲线C是以52,-3为圆心、半径为12的圆.17(8分)如图,在正方体OABC-DABC中,|OA|=3,AC与BD相交于点P,分别写出点C,B,P的柱坐标.解:设点C的柱坐标为(1,1,z1),则1=|OC|=3,1=COA=2,z1=0,所以点C的柱坐标为3,2,0;设点B的柱坐标为(2,2,z2),则2=|OB|=|OA|2+|AB|2=32+32=32,2=BOA=4,z2=3,所以点B的柱坐标为32,4,3;如图,取OB的中点E,连接PE,设点P的柱坐标为(3,3,z3),则3=|OE|=12
9、|OB|=322,3=AOE=4,z3=3,所以点P的柱坐标为322,4,3.18(9分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得x=x1,y=2y1.由x12+y12=1,得x2+y22=1,即曲线C的方程为x2+y24=1.(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0,解得x=1,y=0或x=0,y=2.不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为12,1,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12x-12,化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=34sin-2cos.