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1、2.2排序不等式课时过关能力提升1.已知a0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.MND.M0,则a3b3c3.根据排序原理,得a4+b4+c4a3b+b3c+c3a.又因为abacbc,a2b2c2,所以a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)0.当且仅当a=b=c时等号成立.答案:B3.若A=x12+x22+xn2,B=x1x2+x2x3+xn-1xn+xnx1,
2、其中x1,x2,xn都是正数,则A与B的大小关系为()A.ABB.ABC.ABD.AB解析:不妨设00,则1b+c1c+a1a+b.由排序原理,知ab+c+bc+a+ca+bbb+c+cc+a+ab+a,ab+c+bc+a+ca+bcb+c+ac+a+ba+b.+,得ab+c+bc+a+ca+b32.当且仅当a=b=c时等号成立.答案:326.设A,B,C为ABC的三个内角,a,b,c为ABC的三边,则aA+bB+cCa+b+c的最小值为.(A,B,C用弧度制表示)解析:不妨设abc0,则ABC,由排序不等式,得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cCbA+cB+aC,aA+bB+
3、cCcA+aB+bC,将以上三式相加,得3(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c),即aA+bB+cCa+b+c3.当且仅当a=b=c或A=B=C时等号成立.答案:37.设a,b,c都是正实数,求证:1a+1b+1ca8+b8+c8a3b3c3.证明设abc0,则1c1b1a,而1b3c31c3a31a3b3.由不等式的性质,知a5b5c5.根据排序不等式,知a5b3c3+b5c3a3+c5a3b3a5c3a3+b5a3b3+c5b3c3=a2c3+b2a3+c2b3.又由不等式的性质,知a2b2c2,1c31b31a3.由排序不等式,得a2c3+b2a3+c2b3a2a3+b2b3+c2c3=1a+1b+1c.由不等式的传递性,知1a+1b+1ca5b3c3+b5c3a3+c5a3b3=a8+b8+c8a3b3c3.故原不等式成立.