《2019版数学人教B版选修4-5训练：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 Word版含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版数学人教B版选修4-5训练：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 Word版含解析.doc（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明课时过关能力提升1.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.1n解析:设n个正数为x1,x2,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+xn)1x1+1x2+1xnx11x1+x21x2+xn1xn2=(1+1+1)2=n2,当且仅当x1=x2=xn时等号成立.答案:C2.若x+y+z=1,则F=2x2+y2+3z2的最小值为()A.1B.6C.11D.611解析:(2x2+y2+3z2)12+1+132x12+y1+3z132=(x+y+z)2=1,当且仅当x=311,y=611,z=211时等号成立.2x2+y
2、2+3z21116=611.答案:D3.设m,n,p(0,+),且m2+n2-p2=0,则pm+n的最小值为()A.0B.3C.1D.22解析:m,n,p(0,+),m2+n2-p2=0,2p2=2(m2+n2)=(12+12)(m2+n2)(m+n)2,当且仅当m=n时等号成立.p2(m+n)212,pm+n22.答案:D4.已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为.解析:(x2+4y2+z2)(12+12+12)(x+2y+z)2=1,x2+4y2+z213.当且仅当x=2y=z=13,即x=13,y=16,z=13时等号成立.答案:135.已知(x-3)2+
3、(y-3)2=6,则yx的最大值为.解析:设k=yx(k0),则kx-y=0,于是(x-3)2+(y-3)2k2+(-1)2k(x-3)-(y-3)2=(3-3k)2.当且仅当x-3k=y-3-1时等号成立,因此6(k2+1)(3-3k)2,解得3-22k3+22.故kmax=3+22,即yx的最大值为3+22.答案:3+226.求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2取到最小值.解:由柯西不等式,得(12+22+12)(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)21(y-1)+2(3-x-y)+1(2x+y-6)2=1,即(y-1)2+(x+y-3)2+(
4、2x+y-6)216,当且仅当y-11=3-x-y2=2x+y-61,即x=52,y=56时等号成立.故当x=52,y=56时,(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2取到最小值.7.设a,b,c为正数,且a+b+c=1,求证:a+1a2+b+1b2+c+1c21003.证明a+1a2+b+1b2+c+1c2=13(12+12+12)a+1a2+b+1b2+c+1c2131a+1a+1b+1b+1c+1c2=131+1a+1b+1c2=131+(a+b+c)1a+1b+1c2131+a1a+b1b+c1c22=13(1+9)2=1003,当且仅当a=b=13时等号成立.故原不等式成立
5、.8.如图所示,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在这个三角形内任取一点P,过点P分别引三边的平行线,与各边围成以点P为顶点的三个三角形.求这三个三角形面积和的最小值,以及取得最小值时点P的位置.解:分别以OA,OB所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,则AB所在直线的方程为x+y=1,设点P的坐标为(x,y),以点P为顶点的三个三角形的面积和为S,则S=12x2+12y2+12(1-x-y)2.因为x+y+(1-x-y)=1(定值),所以当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=13时,x2+y2+(1-x-y)2有最小值13,所以面积S有最小值16,此时点P恰为AOB的重心.9.设f(x)=
6、lg1x+2x+(n-1)x+anxn,若0a1,nN*,且n2,求证:f(2x)2f(x).证明f(2x)=lg 12x+22x+(n-1)2x+an2xn,要证明f(2x)2f(x),只要证明lg 12x+22x+(n-1)2x+an2xn2lg 1x+2x+(n-1)x+anxn,即证明12x+22x+(n-1)2x+an2xn1x+2x+(n-1)x+anxn2,也即证明n12x+22x+(n-1)2x+an2x1x+2x+(n-1)x+anx2.(*)0a1,aa2,根据柯西不等式,得n12x+22x+(n-1)2x+an2x(12+12+12n个)(1x)2+(2x)2+(n-1)x2+(anx)21x+2x+(n-1)x+anx2,即(*)式显然成立,故原不等式成立.