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1、2.2 独立性检验 2.3 独立性检验的基本思想 2.4 独立性检验的应用 课后训练案巩固提升巩固提升 一、一、A 组组 1.假设有两个分类变量 X 与 Y,它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2,其 22 列联表为: y1y2总 计 x1aba+b x2cdc+d 总计a+cb+da+b+c+d 以下各组数据中,对于同一样本能说明 X 与 Y有关系的可能性最大的一组为( ) A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=2,b=3,c=5,d=4 解析:比较. | + - + | 选项 A中,; | 5 9 - 3 5
2、| = 2 45 选项 B中,; | 5 8 - 4 6| = 1 24 选项 C中,; | 2 5 - 4 9| = 2 45 选项 D中,.故选 D. | 2 5 - 5 9| = 7 45 答案:D 2.对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是( ) A.判断模型的拟合效果 B.对两个变量进行相关分析 C.给出两个分类变量有关系的可靠程度 D.估计预报变量的平均值 解析:独立性检验的目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度. 答案:C 3.为了研究男子的年龄与吸烟的关系,抽查了 100 个男人,按年龄超过和不超过 40 岁,吸烟量每天多于 和不多于 20 支进行分组,如下表: 年龄 吸烟
3、量 不超过 40岁超过 40岁合计 吸烟量不多于 20 支/天501565 吸烟量多于 20 支/天102535 合 计6040100 则有 的把握认为吸烟与年龄有关.( ) A.0B.95% C.99%D.都不正确 解析:2=22.166.635. 100 (50 25 - 10 15)2 65 35 60 40 故我们有 99%的把握认为吸烟量与年龄有关. 答案:C 4.为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关,在调查的 500 名学习时间较长的中学生中有 39名学习成绩比较好,500名学习时间较短的中学生中有 6 名学习成绩比较好,那么你认为中学生的 学习成绩与学习时间长短有关的把
4、握为( ) A.0B.95%C.99%D.都不正确 解析:计算出 2与两个临界值比较. 2=25.340 36.635. 1 000 (39 494 - 6 461)2 45 955 500 500 所以有 99%的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关,故选 C. 答案:C 5.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男女总计 爱好402060 不爱好203050 总计6050110 由 2=算得, ( - )2 ( + )( + )( + )( + ) 2=7.8. 110 (40 30 - 20 20)2 60 50 60 50 附表: P0.05
5、00.0100.001 23.8416.63510.828 参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 解析:由 27.8及 P(26.635)=0.010 可知,在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为“爱好该项运动 与性别有关”,也就是有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案:A 6.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观
6、众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关 的数据如下表所示: 文艺节目新闻节目总计 20 至 40 岁401858 大于 40 岁152742 总 计5545100 由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关: (填“是”或“否”). 解析:因为在 20至 40岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目,而大于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目,即,两者相差较大,所以经直观分析,收看新闻节目的观众与 + = 18 58, + = 27 42 年龄是有关的. 答案:是 7.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系,随机抽取了部分工人资料,得到如下
7、列联表: 文化程度与月收入列联表(单位:人) 月收入 2 000元以下月收入 2 000元及以上总计 高中文化以上104555 高中文化及以下203050 总 计3075105 由上表中数据计算得 2=6.109,请估计有 把握认为文化程度与月 105 (10 30 - 45 20)2 55 50 30 75 收入有关系. 解析:由于 6.1093.841,所以有 95%的把握认为文化程度与月收入有关系. 答案:95% 8.在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有 24 人,不晕机 的有 31人;女乘客晕机的有 8 人,不晕机的有 26人.请你根据所给数据判
8、定:在天气恶劣的飞行航程 中,男乘客是否比女乘客更容易晕机? 解:根据题意,列出 22 列联表如下: 晕机不晕机总计 男乘客243155 女乘客82634 总计325789 假设在天气恶劣的飞行航程中,男乘客不比女乘客更容易晕机. 由公式可得 2=3.6892.706, 89 (24 26 - 31 8)2 55 34 32 57 故有 90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中,男乘客比女乘客更容易晕机”. 9.在某测试中,卷面满分为 100 分,60 分为及格,为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响,特 对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计,数据如下表所示: 分数段2
9、9404150516061707180819091100 午休考生人数23473021143114 不午休考生人数1751671530173 (1)根据上述表格完成列联表: 及格人数不及格人数总计 午休 不午休 总计 (2)根据列联表可以得出什么样的结论?对今后的复习有什么指导意义? 解:(1)根据题表中数据可以得到列联表如下: 及格人数不及格人数总计 午休80100180 不午休65135200 总计145235380 (2)计算可知,午休的考生及格率为 P1=,不午休的考生的及格率为 P2=,则 P1P2,因此, 80 180 = 4 9 65 200 = 13 40 可以粗略判断午休与考
10、生考试及格有关系,并且午休的及格率高,所以在以后的复习中考生应尽量适 当午休,以保持最佳的学习状态. 10.导学号 18334009某校为了探索一种新的教学模式,进行了一项课题实验,乙班为实 验班,甲班为对比班,甲、乙两班均有 50 人,一年后对两班进行测试,成绩分别如表 1 和表 2 所示(总 分:150分): 表 1 成绩80,90)90,100)100,110)110,120)120,130) 频数42015101 表 2 成绩80,90)90,100)100,110)110,120)120,130) 频数11123132 (1)现从甲班成绩位于90,120)内的试卷中抽取 9份进行试卷
11、分析,用什么抽样方法更合理?并写出最 后的抽样结果. (2)根据所给数据可估计在这次测试中,甲班的平均分是 101.8,请你估计乙班的平均分,并计算两班平 均分相差几分. (3)完成下面 22列联表,你认为有 97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题 实验有关”吗?并说明理由. 班级成绩小于 100分成绩不小于 100分总计 甲班a=2650 乙班12d=50 总计3664100 解:(1)用分层抽样的方法更合理. 甲班成绩位于90,120)内的试卷共有 20+15+10=45(份),从中抽取 9 份,抽样比为, 9 45 = 1 5 故在90,100),100,110)
12、,110,120)各分数段内抽取试卷 20 =4(份),15 =3(份),10 =2(份). 1 5 1 5 1 5 (2)估计乙班的平均分为 x乙=85+95+105+115+125=105.8,105.8-101.8=4,即 1 50 11 50 23 50 13 50 2 50 两班的平均分差 4 分. (3)补全列联表如下: 班级成绩小于 100分成绩不小于 100分总计 甲班a=242650 乙班12d=3850 总计3664100 由列联表中的数据,得 2=6.255.024, 100 (24 38 - 26 12)2 36 64 50 50 所以有 97.5%的把握认为“这两个班
13、在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关.” 二、二、B 组组 1.有两个分类变量 x,y,其 22 列联表如下表.其中 a,15-a 均为大于 5 的整数,若有 99%的把握认为“x 与 y之间有关系”,则 a的取值应为( ) 变量y1y2 x1a20-a x215-a30+a A.5或 6B.6或 7C.7 或 8D.8 或 9 解析:查表可知,要有 99%的把握认为“x 与 y 之间有关系”,则 22.706, 而 2=,要使 22.706 得 a7.19 65 (30 + ) - (20 - )(15 - )2 20 45 15 50 = 13 (65 - 300)2 60 45 50
14、 = 13 (13 - 60)2 60 或 a5且 15-a5,aZ,所以 a=8或 9,故当 a 取 8 或 9 时有 99%的把握认为“x 与 y 之 间有关系”. 答案:D 2.某卫生机构对 366 人进行健康体检,其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有 16 人,不发病 的有 93人;阴性家族史者糖尿病发病的有 17 人,不发病的有 240 人,有 的把握认为糖尿病 患者与遗传有关系.( ) A.99.9%B.99.5%C.99%D.97.5% 解析:可以先作出如下列联表(单位:人): 糖尿病患者与遗传列联表 糖尿病发病糖尿病不发病总计 阳性家族史1693109 阴性家族史1724
15、0257 总 计33333366 根据列联表中的数据,得到 2=6.0675.024. 366 (16 240 - 17 93)2 109 257 33 333 故我们有 97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系. 答案:D 3.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多认为作业不多总数 喜欢玩电脑游戏18927 不喜欢玩电脑游戏81523 总 数262450 则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( ) A.99%B.95% C.90%D.无充分依据 解析:由表中数据得 2=5.0593.841. 50 (18 15 - 8 9)2 26
16、 24 27 23 所以约有 95%的把握认为两变量之间有关系. 答案:B 4.调查者通过随机询问 72 名男女中学生喜欢文科还是理科,得到如下列联表(单位:名): 性别与喜欢文科还是理科列联表 喜欢文科喜欢理科总计 男生82836 女生201636 总计284472 中学生的性别和喜欢文科还是理科 关系.(填“有”或“没有”) 解析:通过计算 2=8.427.879.故我们有 99.5%的把握认为中学生的性别和喜 72 (16 8 - 28 20)2 36 36 44 28 欢文科还是理科有关系. 答案:有 5.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某中学随机抽出 20 名 15 至 1
17、6 周岁的男生将他们 的身高和体重制成 22 列联表,根据列联表中的数据,有 的把握认为该学校 15 至 16 周岁 的男生的身高和体重之间有关系. 超重不超重总计 偏高415 不偏高31215 总计71320 解析:根据公式 2=得, ( - )2 ( + )( + )( + )( + ) 2=5.934, 20 (4 12 - 1 3)2 5 15 7 13 因为 25.024,因此有 97.5%的把握认为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系. 答案:97.5% 6.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 专业 性别 非统计专业统计
18、专业 男1310 女720 为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 2=4.844,因 50 (13 20 - 10 7)2 23 27 20 30 为 23.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 . 解析:23.841,有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关,出错的可能性为 5%. 答案:5% 7.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年 人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 男女 需要4030 不需要160270 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否
19、有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人 的比例?说明理由. 附: P0.0500.0100.001 23.8416.63510.828 2= ( - )2 ( + )( + )( + )( + ) 解:(1)调查的 500位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的老年人 的比例的估计值为=14%. 70 500 (2)2=9.967. 500 (40 270 - 30 160)2 200 300 70 430 由于 9.9676.635,
20、所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老 年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比 例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法进行抽样,这比采用简单随机抽样方法更好. 8.导学号 18334010为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中数学老师分别用两 种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度 和自觉性都一样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为 20 人)学生的数学期末考试成绩
21、. (1)现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 87 分的同学至少有一名被 抽中的概率; (2)学校规定:成绩不低于 75分的为优秀.请填写下面的 22 列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀 与教学方式有关”. 甲班乙班合计 优秀 不优秀 合计 下面临界表仅供参考: P0.150.100.050.0250.0100.0050.001 22.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式:2= ( - )2 ( + )( + )( + )( + ) 解:(1)记成绩为 87分的同学为 A,B,其他不低于 80 分的同学为 C,D,E
22、,“从甲班数学成绩不低于 80 分 的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有 (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. “至少有一个 87分的同学被抽到”所组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E), 共 7个,所以 P=. 7 10 (2) 甲班乙班合计 优秀61420 不优秀14620 合计202040 2=6.45.024, 40 (6 6 - 14 14)2 20 20 20 20 因此,我们有 97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关.