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1、第一章测评第一章测评 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数 y=3ex+3的图像附近,则当 x=-2 时,y的值为( ) A.3eB.eC.3e-1D.e-1 解析:当 x=-2时,y=3e-2+3=3e. 答案:A 2.一位母亲记录了儿子 39岁的身高,由此建立的身高 y(单位:cm)与年龄 x(单位:岁)的回归方程为 y=7.19x+73.93.用这个方程预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( ) A.身
2、高一定是 145.83 cm B.身高在 145.83 cm 以上 C.身高在 145.83 cm 以下 D.身高在 145.83 cm左右 解析:回归模型的预报值是一种估计值,故选 D. 答案:D 3.下列结论正确的是( ) 函数关系是一种确定性关系; 相关关系是一种非确定性关系; 回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. A.B. C.D. 答案:C 4.若线性回归方程为 y=2-3.5x,则变量 x增加一个单位,变量 y 平均( ) A.减少 3.5个单位B.增加 2个单位 C.增加 3.5个单位D.减少
3、2 个单位 解析:由线性回归方程可知 b=-3.5,则变量 x 增加一个单位,y 减少 3.5 个单位,即变量 y 平均减少 3.5 个 单位. 答案:A 5.下表是某厂 14月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x1234 用水量 y4.5432.5 由散点图可知,用水量 y与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是 y=-0.7x+a,则 a 等 于( ) A.10.5B.5.15C.5.2D.5.25 解析:样本点的中心为(2.5,3.5),将其代入线性回归方程可解得 a=5.25. 答案:D 6.两个分类变量 X 与 Y,可能的取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本
4、频数满足 a=10,b=21,c+d=35,若 X 与 Y 有关系的可信程度为 90%,则 c 的值可能等于( ) A.4B.5C.6D.7 解析:若 X与 Y 有关系的可信程度为 90%,则 2的范围为 2.7063.841, 因此,有 95%的把握认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系. 答案:B 11.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名中学 生,得到统计数据如表 1 至表 2,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表 1 成绩 性别 不及格及格总计 男61420 女102232 总计163652 表 2 视力 性别 好差总计 男4
5、1620 女122032 总计163652 表 3 智商 性别 偏高正常总计 男81220 女82432 总计163652 表 4 阅读量 性别 丰富不丰富总计 男14620 女23032 总计163652 A.成绩B.视力C.智商D.阅读量 解析:因为,2 1= 52 (6 22 - 14 10)2 16 36 32 20 = 52 82 16 36 32 20 ,2 2= 52 (4 20 - 16 12)2 16 36 32 20 = 52 1122 16 36 32 20 ,2 3= 52 (8 24 - 12 8)2 16 36 32 20 = 52 962 16 36 32 20
6、,2 4= 52 (14 30 - 6 2)2 16 36 32 20 = 52 4082 16 36 32 20 则,所以阅读量与性别有关联的可能性最大.2 4 22 23 21 答案:D 12. 以下关于线性回归的判断,正确的个数是( ) 若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线; 散点图中的绝大多数都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的 A,B,C 点; 已知直线方程为 y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为 11.69; 回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. A.0B.1C.2D.3 解析:能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而
7、据回归直线的定义知,只有按最小二乘法求得 回归系数 b,a 得到的直线 y=bx+a 才是回归直线,不对;正确;将 x=25 代入 y=0.50x-0.81,得 y=11.69,正确;正确,故选 D. 答案:D 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.将答案填在题中的横线上) 13.许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中之一.在研究这两个因素的关系时,收集了美国 50 个州的 成年人受过 9 年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比 (y)的数据,建立的线性回归方程为 y=0.8x+4.6.斜率的估计值为 0.8 说明 . 答案:美国一个地区的
8、成年人受过 9 年或更少教育的百分比每增加 1%,收入低于官方规定的贫困线 的人数占本州人数的百分比将增加 0.8%左右 14.在 2017年春节期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调 查,五个商场的售价 x元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x99.51010.511 销售量 y1110865 通过分析,发现销售量 y对商品的价格 x 具有线性相关关系,则销售量 y对商品的价格 x 的回归直线 方程为 . 解析:xiyi=392, =10, =8,(xi- )2=2.5,代入公式,得 b=-3.2,所以,a= -b =40,故回归直线方程为
9、5 = 1 5 i = 1 y=-3.2x+40. 答案:y=-3.2x+40 15.下面是一个 22 列联表: y1y2总计 x1a2170 x25c30 总计bd100 则 b-d= . 解析:a=70-21=49,c=30-5=25, b=49+5=54,d=21+25=46. b-d=8. 答案:8 16.下列说法: 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; 线性回归方程 y=bx+a必过点();, 曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; 在一个 22 列联表中,由计算得 2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中错误的是 .(填序号) 解析
10、:正确.由回归方程的定义及最小二乘法思想,知正确.不正确. 答案: 三、解答题(本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在某化学反应的中间阶段,压力保持不变,温度从 1 变化到 5 ,反应结果如下表所示(x 代 表温度,y代表结果): x12345 y3571011 (1)求化学反应的结果 y 对温度 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量与 y 之间是正相关还是负相关,并预测当温度达到 10 时反应结果为多少? 附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=,a= -b . = 1xiyi - x y n i = 1 2 - 2 解:(1
11、)由题意:n=5,xi=3,yi=7.2, = 1 5 5 = 1 y = 1 5 5 i = 1 又-5=55-59=10,xiyi-5=129-537.2=21, 5 = 1 2 2 5 = 1 b=2.1,a= -b =7.2-2.13=0.9, 5 = 1 - 5 5 = 1 2 - 5 2 = 21 10 故所求的回归方程为 y=2.1x+0.9. (2)由于变量 y 的值随温度的值增加而增加(b=2.10),故 x 与 y 之间是正相关. 当 x=10 时,y=2.110+0.9=21.9. 18.(12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 1
12、00 名观 众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. 根据已知条件完成下面的 22 列联表,并据此资料,你是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷体育迷合计 男 女1055 合计 解:(1)由所给的频率分布直方图知, “体育迷”人数为 100(100.020+100.005)=25. “非体育迷”人数为 75,则据题意完成 22 列联表: 非体育迷体育迷合计 男301545 女451055 合计7525100 将 22列联表的数据代入公式计算: 2=3.0302.706. 100 (30
13、10 - 45 15)2 75 25 45 55 所以有 90%的把握可以认为“体育迷”与性别有关. 19.(12分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如 表所示: 喜欢甜品不喜欢甜品合计 南方学生602080 北方学生101020 合计7030100 根据表中数据,问是否能有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差 异”. 附: P(2k0)0.1000.0500.010 k02.7063.8416.635 2= ( - )2 ( + )( + )( + )( + ) 解:(1)将 22列联表中的数据代入计算公式, 得 2
14、=4.762. 100 (60 10 - 20 10)2 70 30 80 20 = 100 21 由于 4.7623.841,所以能有 95%的把握可以认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯 方面有差异”. 20.导学号 18334011(12 分)某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之 间的关系,从该部门内随机抽选了 10 个企业为样本,有如下资料: 产量 x(千件)生产费用(千元) 40150 42140 48160 55170 65150 79162 88185 100165 120190 140185 (1)计算 x与 y 的相关系数; (2)对这两个变量之间是否
15、线性相关进行检验; (3)设回归方程为 y=bx+a,求回归系数. 解:(1)根据数据可得: =77.7, =165.7,=70 903, 10 = 1x 2 i =277 119, 10 i = 1 2 xiyi=132 938,所以 r0.808, 10 = 1 即 x与 y 之间的相关系数 r0.808. (2)因为 r0.75,所以可认为 x与 y 之间具有线性相关关系. (3)b=0.398,a=134.8. 21.导学号 18334012(12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽 多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的
16、每天昼夜温差与实验室每 天每 100颗种子中的发芽数,得到如下资料: 日期12 月 1 日12月 2 日12月 3 日12月 4 日12月 5 日 温差 x()101113128 发芽数 y(颗)2325302616 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回归方程,再对被 选取的 2组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求出 y 关于 x的线性回归方程 y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的
17、估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性 回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠? 解:(1)设事件 A表示“选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天的数据”,则 表示“选取的数据恰好是相邻 2 天的数据”. 基本事件总数为 10,事件 包含的基本事件数为 4. 易得 P( )=, 4 10 = 2 5 故 P(A)=1-P( )= . 3 5 (2)计算得 =12, =27,xiyi=977,=434, 3 = 1 3 i = 1 2 所以 b=2.5, 3 = 1 - 3 3 = 1 2 - 3 2 = 977 - 3 12 27 434 - 3
18、122 a= -b =27-2.512=-3, 即 y=2.5x-3. (3)由(2)知:当 x=10时,y=22,误差不超过 2 颗; 当 x=8 时,y=17,误差不超过 2 颗. 故所求得的线性回归方程是可靠的. 22.导学号 18334013(12 分)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下 工人 200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名 工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁 以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5
19、 组:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分 别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到 1 名“25 周岁以下组”工人 的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 22 列联表,并判断是 否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? P0.1000.0500.0100.001 22.7063.8416.63510.828 (注: 2= ( - )2 ( + )( + )( + )( + ) 解:(1)由已知得,样本中有 2
20、5 周岁以上组工人 60 名,25周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 600.05=3(人),记为 A1,A2,A3;25周岁以下组工人有 400.05=2(人),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10 种,它们 是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们 是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1
21、),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率 P=. 7 10 (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手 600.25=15(人),“25 周岁以下组”中的生产能手 400.375=15(人),据此可得 22 列联表如下: 生产能手非生产能手合计 25 周岁以上组154560 25 周岁以下组152540 合 计3070100 所以得 2=1.79. ( - )2 ( + )( + )( + )( + ) 100 (15 25 - 15 45)2 60 40 30 70 因为 1.792.706.所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.