《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 Word版含解析.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2 椭圆的简单性质 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.设椭圆=1(ab0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0的两个实根分别为 x1和 x2,则点 2 2 + 2 2 1 2 P(x1,x2)( ) A.必在圆 x2+y2=2 内 B.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有 解析:e= ,.a2=b2+c2,b2= a2. 1 2 = 1 2 3 4 x1+x2=- ,x1x2=- , =(x1+x2)2-2x1x2=+1= 0,得 1 m1.又 m5,故选 C. 答案:C 3.已知 F1,F2是椭圆的两个焦
2、点,过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B两点,若ABF2是等腰直角三角形,则这 个椭圆的离心率是( ) A.B.C.-1D. 3 2 2 2 22 解析:由题意得|AF1|=,|AF2|=|BF2|. 2 ABF2是等腰直角三角形, |AF1|=|F1F2|,即=2c. 2 b2=a2-c2=2ac. 整理得 e2+2e-1=0,e=-1. 2 答案:C 4.焦点在 x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为 2,到左顶点的距离为 3的椭圆的标准方程是( ) A.=1B.+y2=1 2 4 + 2 3 2 4 C.=1D.x2+=1 2 4 + 2 3 2 4 解析:依题意,得 a=2,a+
3、c=3,故 c=1,b=,故所求椭圆的标准方程是=1. 22 - 1 2= 3 2 4 + 2 3 答案:A 5.若点 O 和点 F 分别为椭圆=1 的中心和左焦点,点 P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( ) 2 4 + 2 3 A.2B.3C.6D.8 解析:由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0), 则=(x0,y0)(x0+1,y0)=+x0+. 2 0 2 0 P为椭圆上一点,=1. 2 0 4 + 2 0 3 +x0+3+x0+3= (x0+2)2+2. = 2 0 ( 1 - 2 0 4) = 2 0 4 1 4 -2x02,的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于
4、6. 答案:C 6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长是短轴长的 2倍,则该椭圆的标准方程是 . 3 解析:由已知,得 a=2b,c=2,又 a2-b2=c2, 3 故 b2=4,a2=16,又焦点在 x轴上, 故椭圆方程为=1. 2 16 + 2 4 答案:=1 2 16 + 2 4 7.导学号 90074059已知椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在 2 2 + 2 2 点 P使,则该椭圆的离心率的取值范围为 . sin12 = sin21 解析:如图所示, e=-1. = sin21 sin12 = | 1| | 2|
5、 = 2 - |2| | 2| = 2 | 2| |PF2|-1,即 e-1, 2 | 2| 2 + 2 1 + e2+2e-10. 又0b0).由已知 a=2b, 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 且椭圆过点(2,-6), 从而有=1 或=1. 22 2 + ( - 6)2 2 ( - 6)2 2 + 22 2 由,得 a2=148,b2=37,或 a2=52,b2=13. 故所求椭圆的方程为=1 或=1. 2 148 + 2 37 2 52 + 2 13 (2)如图所示,A1FA2为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2的中线(高),且 OF=c,A1A2=2b, c=b=3.a2
6、=b2+c2=18. 故所求椭圆的方程为=1. 2 18 + 2 9 10.已知椭圆=1(ab0)的左焦点 F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点 F1到直线 AB的距离为,求 2 2 + 2 2 7 椭圆的离心率. 解(方法一)由题意,直线 AB 的方程为=1, - + 即 bx-ay+ab=0. 焦点 F1到直线 AB 的距离 d=, | - + | 2+ 2 . | - + | 2+ 2 = 7 两边平方、整理,得 8c2-14ac+5a2=0, 两边同时除以 a2,得 8e2-14e+5=0, 解得 e= 或 e= (舍去). 1 2 5 4 (方法二)
7、在AF1B 中,由面积公式可得=(a-c)b,将 b2=a2-c2代入上式,整理得 8c2-14ac+5a2=0.(以下解 2+ 2 7 法同解法一) B组 1.已知椭圆的长轴长为 20,短轴长为 16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( ) A.6,10B.6,8C.8,10D.16,20 解析:不妨设焦点在 x 轴上,由题意知 a=10,b=8,设椭圆上的点 M(x0,y0),由椭圆的范围知,|x0|a=10,|y0|b=8,点 M到 椭圆中心的距离 d=.又因为=1,所以=64=64-,则 d=. 2 0+ 20 2 0 100 + 2 0 64 2 0 ( 1 - 2 0 100
8、) 16 25 2 0 2 0+ 64 - 16 25 2 0= 9 25 2 0+ 64 因为 0100,所以 64+64100,所以 8d10.故选 C. 2 0 9 25 2 0 答案:C 2.已知 c 是椭圆=1(ab0)的半焦距,则的取值范围是( ) 2 2 + 2 2 + A.(1,+)B.(,+) 2 C.(1,)D.(1, 22 解析:如图,在AFO 中,令AFO=,其中 为锐角,则=sin +cos =sin(1,. + 2 ( + 4) 2 答案:D 3. 如图,把椭圆=1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,P3,P4,
9、P5,P6,P7七 2 25 + 2 16 个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= . 解析:设 F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同 理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a. 又|P4F|=a,|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35. 答案:35 4.已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的直线与椭圆相交于 A,B两点.若线段 AB中点的横坐标是- ,求直线
10、 AB的 1 2 方程. 解依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB的方程为 y=k(x+1)(k0),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5,消去 y整理,得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 = 364- 4(32+ 1)(32- 5) 0, 1+ 2 = - 62 32+ 1 . 由线段 AB 中点的横坐标是- ,得=-=- ,解得 k=,适合. 1 2 1+ 2 2 32 32+ 1 1 2 3 3 所以直线 AB 的方程为 x-y+1=0 或 x+y+1=0. 33 5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=
11、4,过椭圆的左焦点 F1作直线交椭圆于 M,N两点,设MF1F2=(0180), 2 问 取何值时,|MN|等于椭圆短轴长? 解(方法一)如图, 建立平面直角坐标系,则 a=3,c=2,b=1, 2 椭圆方程为+y2=1. 2 9 当直线 MN 斜率不存在时,得|MN|= ,不合题意. 2 3 故可设过 F1的直线方程为 y=k(x+2). 2 = ( + 22), 2 9 + 2= 1. 代入,整理可得 (1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0, 2 x1+x2=,x1x2=. - 36 22 1 + 92 722 - 9 1 + 92 代入|MN|=,可得 ( 1+ 2)2 - 4
12、 12(1 + 2) |MN|=. 6(2+ 1) 1 + 92 =2,k=, 6(2+ 1) 1 + 92 3 3 即 tan =,= 或 = . 3 3 6 5 6 (方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得 a=3,c=2,b=1. 2 令|F1M|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=4, 2 在MF1F2中利用余弦定理得 x=, 1 3 - 22cos 若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=4, 2 在NF1F2中利用余弦定理得 y=, 1 3 + 22cos |MN|=x+y=,=2,cos =, 1 3 + 22cos + 1 3 - 22cos =
13、6 9 - 8cos2 6 9 - 8cos2 3 2 = 或 = . 6 5 6 6.导学号 90074060有一椭圆形溜冰场,长轴长 100 m,短轴长 60 m,现要在这个溜冰场上规定一个 各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多 少? 解分别以 椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为 x 轴和 y 轴,以长轴的中点为坐标原点 O,建立如图所示的平面直角坐标系 xOy, 设矩形 ABCD的各顶点都在椭圆上. 易知矩形 ABCD关于原点 O 及 x 轴、y 轴都是对称的.已知椭圆的长轴长 2a=100 m,短轴长 2b=60 m,则
14、椭圆的方 程为=1. 2 502 + 2 302 设顶点 A的坐标为(x0,y0),x00,y00, 则=1,得(502-)=(502-). 2 0 502 + 2 0 302 2 0= 302 502 2 0( 3 5) 2 2 0 根据矩形 ABCD的对称性,可知它的面积 S=4x0y0. 由于(502-) 2 020= 20 302 502 2 0 =. ( 3 5) 2 -(20- 502 2) 2 + 504 4 当时,取得最大值,此时 S 也取得最大值.此时 x0=25,y0=15, 2 0= 502 2 2 020 22 矩形 ABCD 的周长为 4(x0+y0)=4(25+15)=160(m). 222 因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距 25 m的直线,这两条直线与椭圆的交点就 2 是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为 160 m. 2