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1、4 曲线与方程曲线与方程 4.1 曲线与方程 课后训练案巩固提升巩固提升 1.下列命题正确的是( ) A.方程=1 表示斜率为 1,在 y 轴上的截距是 2 的直线 - 2 B.ABC 的顶点坐标分别为 A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线 AO的方程是 x=0 C.到 x轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y=5 D.曲线 2x2-3y2-2x+m=0 通过原点的充要条件是 m=0 解析:选项 A 中直线不过(0,2)点;选项 B 中中线 AO是线段;选项 C 中轨迹方程应是 y=5.故选项 A,B,C都错误,选 D. 答案:D 2.已知 P1(x1,y1)是直线 l:f(x,y)
2、=0上的一点,P2(x2,y2)是直线 l外一点,则方程 f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线 l与直 线 l 的位置关系是( ) A.平行B.重合C.垂直D.斜交 解析:点 P1(x1,y1)在直线 l:f(x,y)=0 上, f(x1,y1)=0. f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即 l为 f(x,y)=-f(x2,y2). 又点 P2(x2,y2)在直线 l 外,则 f(x2,y2)=k0. l为 f(x,y)=-k,即 f(x,y)+k=0. 答案:A 3.ABCD 的顶点 A,C 的坐标分别为(3,-1)
3、,(2,-3),顶点 D 在直线 3x-y+1=0上移动,则顶点 B满足的方程为( ) A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0 C.3x-y-12=0D.3x-y-9=0 解析:设 AC,BD 交于点 P,点 A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),P 点坐标为. ( 5 2 , - 2 ) 设 B为(x,y),则 D 为(5-x,-4-y), 点 D 在直线 3x-y+1=0 上, 15-3x+4+y+1=0,即 3x-y-20=0. 答案:A 4.方程 4x2-y2+4x+2y=0 表示的曲线是( ) A.一个点 B.两条互相平行的直线 C.两条互相垂直的直线 D.两条相交但不
4、垂直的直线 解析:4x2-y2+4x+2y=0, (2x+1)2-(y-1)2=0,2x+1=(y-1), 2x+y=0 或 2x-y+2=0,这两条直线相交但不垂直. 答案:D 5.已知 A(-1,0),B(1,0),且=0,则动点 M 的轨迹方程是( ) A.x2+y2=1B.x2+y2=2 C.x2+y2=1(x1)D.x2+y2=2(x2) 解析:设 M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y), 由=0,得(-1-x)(1-x)+y2=0, 即 x2+y2=1. 答案:A 6.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 满足
5、的方程的曲线所围成的图形的面积为( ) A.B.4 C.8D.9 解析:设 P为(x,y),由|PA|=2|PB|,得 =2,即(x-2)2+y2=4,( + 2)2+ 2( - 1)2+ 2 点 P满足的方程的曲线是以 2 为半径的圆,其面积为 4. 答案:B 7.已知 02,点 P(cos ,sin )在曲线(x-2)2+y2=3 上,则 的值为 . 解析:(cos -2)2+sin2=3,得 cos = , 1 2 所以 =. 3或 5 3 答案: 3或 5 3 8.导学号 90074081已知O 的方程是 x2+y2-2=0,O的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P向O和 O
6、所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是 . 解析:由O:x2+y2=2,O:(x-4)2+y2=6,知两圆相离.设由动点 P 向O 和O所引的切线与O和O的切点分别为 T,Q,则|PT|=|PQ|,而|PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO|2-6,|PO|2-2=|PO|2-6.设 P(x,y),即得 x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,即 x= . 3 2 答案:x= 3 2 9. 如图,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M与定圆 F1,F2都外切,求动圆圆心 M的轨迹方程. 解圆 F1:(x+5)2+y2=1,圆心
7、F1(-5,0),半径 r1=1. 圆 F2:(x-5)2+y2=42,圆心 F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M的半径为 R, 则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, |MF2|-|MF1|=310=|F1F2|. 点 M的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线的左支,且 a= ,c=5,于是 b2=c2-a2=. 3 2 91 4 动圆圆心 M 的轨迹方程为=1. 2 9 4 2 91 4 ( - 3 2) 10.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,l1交 x 轴于点 A,l2交 y 轴于点 B,求线段 AB的中点 M的轨迹方程. 解法一如图,设点 M 的坐标为(
8、x,y). M为线段 AB 的中点, 点 A的坐标为(2x,0),点 B 的坐标为(0,2y). l1l2,且 l1,l2过点 P(2,4), PAPB,kPAkPB=-1. 而 kPA=(x1),kPB=2-y, 4 - 0 2 - 2 = 2 1 - 4 - 2 2 - 0 =-1(x1). 2 1 - 2 - 1 整理,得 x+2y-5=0(x1). 当 x=1 时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4), 线段 AB 的中点坐标是(1,2),也满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0. 解法二如图,设 M 的坐标为(x,y),则 A,B 两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接 PM. l1l2, 2|PM|=|AB|. 而|PM|=,( - 2)2+ ( - 4)2 |AB|=,(2)2+ (2)2 2,( - 2)2+ ( - 4)2= 42+ 42 化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程. 解法三如图,设点 M 的坐标为(x,y),连接 PM,OM.由 l1l2,知 A,O,B,P四点共圆,AB为圆的直径,M为圆心,则有 |OM|=|MP|. 2+ 2 =.( - 2)2+ ( - 4)2 化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程.