《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章 空间向量与立体几何 测评 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章 空间向量与立体几何 测评 Word版含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二章测评第二章测评 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在以下命题中,不正确的有( ) |a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; 若 ab,则存在唯一的实数 ,使 a=b; 若向量 a,b,c 构成空间的一个基底,则 a+b,b+c,c+a 构成空间的另一个基底; |(ab)c|=|a|b|c|. A.1个B.2 个C.3 个D.4 个 解析:只有正确,故选 C. 答案:C 2. 如图,已知四面体 ABCD,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,AC的中
2、点,则)=( ) 1 2( + + A.B. C.D. 解析:)=)=, 1 2( + + 1 2( + 1 2 又,)=. = 1 2 1 2( + + 答案:C 3.已知 A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令 a=,b=,则 a+b=( ) A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2) C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2) 解析:A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0), a=(-1,0,-2),b=(-4,9,0), a+b=(-5,9,-2). 答案:B 4.已知 O-ABC是四面体,G1是ABC
3、的重心,G 是 OG1上一点,且 OG=3GG1,若=x+y+z,则 (x,y,z)为( ) A.B. ( 1 4, 1 4, 1 4) ( 3 4, 3 4, 3 4) C.D. ( 1 3, 1 3, 1 3) ( 2 3, 2 3, 2 3) 解析:如图, 连接 AG1并延长交 BC 于点 E,则 E 为 BC 的中点, )=-2),-2). = 1 2( + 1 2( + 1= 2 3 = 1 3( + =3=3(),)=11 = 3 41 = 3 4( + 1 3 4( + 1 3 - 2 3 + 1 3) = 1 4 + 1 4 ,故选 A. + 1 4 答案:A 5.设 xy0z
4、,空间向量 m=,n=,且 x2+9z2=4y(x-y),则 mn 的最小值是( ) ( , 1 ,3 )( , 1 + 1 - ,3 ) A.2B.4C.2D.5 5 解析:空间向量 m=,n=, ( , 1 ,3 )( , 1 + 1 - ,3 ) mn=x2+9z2 1 ( 1 + 1 - ) =4y(x-y)+ 1 ( - ) 2=4.4( - ) 1 ( - ) 当且仅当 4y(x-y)=时取等号. 1 ( - ) 则 mn的最小值是 4. 答案:B 6. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F 分别在 A1D,AC上,且 A1E= A1D,AF= AC,则( ) 2
5、 3 1 3 A.EF至多与 A1D,AC之一垂直 B.EF 与 A1D,AC 都垂直 C.EF 与 BD1相交 D.EF与 BD1异面 解析:以 D为坐标原点,分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 D-,1 xyz,设正方体的棱长为 3,则 A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3), =(-3,0,-3),=(-3,3,0),=(1,1,-1),=0,=0,A1DEF,AC111 , EF.又=(-3,-3,3),1 =-3,即 BD1与 EF平行.故选 B.
6、1 答案:B 7.已知空间三点 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线 OA 上有一点 H 满足 BHOA,则点 H 的坐标为 ( ) A.(-2,2,0)B.(2,-2,0) C.D. (- 1 2, 1 2 ,0 )( 1 2, - 1 2 ,0 ) 解析:由=(-1,1,0),且点 H 在直线 OA上,可设 H(-,0),则=(-,-1,-1).又 BHOA, =0,即(-,-1,-1)(-1,1,0)=0,即 +-1=0,解得 = ,H,故选 C. 1 2 (- 1 2, 1 2 ,0 ) 答案:C 8. 如图,正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面内的投
7、影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平 面 PAC的夹角是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析: 如图,以 O为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz.设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=(a,a,0),设平面 PAC 的一个 ( 0, - 2, 2) =(- , - 2, 2), 法向量为 n,可取 n=(0,1,1),则 cos=,所以=60,所以直线 BC 与平 | = 222 = 1 2 面 PAC的夹角为 90-60=30. 答案:A 9. 如图,正方体
8、 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,E 是 A1B1的中点,则点 E 到平面 ABC1D1的距离是( ) A.B. 3 2 2 2 C.D. 1 2 3 3 解析: 建立如图所示的坐标系, 正方体的棱长为 1, A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E. ( 1, 1 2 ,1 ) 设平面 ABC1D1的法向量为 n=(x,y,z). n=0,且 n=0,即(x,y,z)(0,1,0)=0,且(x,y,z)(-1,0,1)=0.1 y=0,且-x+z=0,令 x=1,则 z=1,n=(1,0,1). n0=.又,
9、( 2 2 ,0, 2 2) 1=(- 1,1 2 ,0 ) 点 E 到平面 ABC1D1的距离为|n0|=.1 |(- 1, 1 2 ,0 )( 2 2 ,0, 2 2)| = 2 2 答案:B 10. 如图,在四面体 P-ABC中,PC平面 ABC,AB=BC=CA=PC,则平面 ABP 与平面 APC 的夹角的余弦值 为( ) A.B. 2 2 3 3 C.D. 7 7 5 7 解析: 取 AC的中点 D,连接 BD,过 D 作 DEPC,以 DB,DC,DE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系.由图知平面 APC 的法向量为. 设 AB=1, 则 D(0,
10、0,0),B,A,C,P, ( 3 2 ,0,0 )( 0, - 1 2 ,0 ) ( 0, 1 2 ,0 ) ( 0, 1 2 ,1 ) =(0,-1,-1),. =( 3 2 ,0,0 ), =( 3 2 , - 1 2 , - 1 ) 设平面 PAB的法向量为 n=(x,y,z), 则 = 0, = 0,即 = - , = - 3 3 , 令 y=3,n=(-,3,-3). 3 cos=-, - 3 2 3 2 21 7 7 即平面 ABP与平面 APC 的夹角的余弦值为. 7 7 答案:C 11.设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4和 y1,y2,
11、y3,y4均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成,若 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角为( ) A.B.C.D.0 2 3 3 6 解析:设 a与 b 的夹角为 .x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能: 2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2; 4ab=4|a|2|a|cos =8|a|2cos ; aa+2ab+bb=|a|2+2|a|b|cos +|b|2=5|a|2+4|a|2cos . 由此易知最小,则 8|a|2cos =4|a|2, 解得 cos = ,= . 1 2 3 答案:B
12、12.导学号 90074051已知平面 与平面 的夹角为 60,AB,ABl,A 为垂 足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线 AB与 CD 所成角的余弦值为( ) A.B.C.D. 1 4 2 4 3 4 1 2 解析:如图, 在平面 内过 C 作 CEAB, 则ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,不妨取 CE=1,过 E作 EO 于 O. 在平面 内过 O 作 OHCD 于 H, 连 EH,则 EHCD. 因为 ABCE,ABl,所以 CEl. 又因为 EO平面 ,所以 COl,所以ECO=60. 而ACD=135,COl,所以OCH=45. 在 RtECO 中,CO
13、=CEcosECO=1cos 60= .在 RtCOH 中,CH=COcosOCH= sin 1 2 1 2 45=.在 RtECH 中,cosECH=.所以异面直线 AB与 CD 所成角的余弦值为.故选 2 4 = 2 4 1 = 2 4 2 4 B. 答案:B 二、填空题(本大题共 4个小题,每小题 5分,共 20分.把答案填在题中的横线上) 13.已知 l,且 l的方向向量为(2,m,1),平面 的法向量为,则 m= . ( 1, 1 2 ,2 ) 解析:l,l的方向向量与平面 的法向量垂直,即(2,m,1)=0,2+ m+2=0,m=-8. ( 1, 1 2 ,2 ) 1 2 答案:-
14、8 14.已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1,设=a,=b,=c,则= . | + + 1 2| 解析: 如图,取 CC中点 E,连接 AC,AE. 正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1, =a,=b,=c, a+b+ c=. 1 2 + + = =|=. | + + 1 2| 2+ 2= (1 2+ 12 ) + ( 1 2) 2 = 3 2 答案: 3 2 15. 如图,PD垂直于正方形 ABCD 所在的平面,AB=2,E 为 PB 的中点,cos=.以 D 为原点,分别, 3 3 以 DA,DC,DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,则点 E 的坐标为 . 解
15、析:设 DP=2a,则 P(0,0,2a),B(2,2,0),E(1,1,a),A(2,0,0).=(0,0,2a),=(-1,1,a), cos=,解得 a=1.E(1,1,1)., | = 22 2 2 + 2 = 3 3 答案:(1,1,1) 16. 如图,等边三角形 ABC 与正方形 ABDE有一公共边 AB,平面 ABC 与平面 ABDE的夹角的余弦值为 3 3 ,M,N 分别是 AC,BC的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值为 . 解析:如图所示,过点 C作 CO平面 ABDE,垂足为 O,取 AB的中点 F, 连接 CF,OF,OA,OB,则CFO 为二面角 C-AB-D 的平
16、面角,cosCFO=. 3 3 设 AB=1,则 CF=,OF= ,OC=,O 为正方形 ABDE 的中心.如图建立空间直角坐标系,则 E 3 2 1 2 2 2 ,A,M,N, ( 0, - 2 2 ,0 ) ( 2 2 ,0,0 ) ( 2 4 ,0, 2 4) ( 0, 2 4 , 2 4) =( 2 4 , 2 4 , 2 4), =( - 2 2 , 2 4 , 2 4) cos=, | = - 14 217 sin=2=3. 1 2| , 1 2 1417 27 34 21 (2)设 AB边上的高为 CD,则|=3,即ABC中 AB 边上的高为 3. 2 | 66 18. (满分
17、12分)如图,在长方体 ABCD-ABCD中,AB=2,AD=1,AA=1.证明直线 BC平行于平面 DAC,并 求直线 BC到平面 DAC 的距离. 解如图, 建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0). 设平面 DAC 的法向量 n=(u,v,w), 则 n,n. 因为=(1,0,1),=(0,2,1),n=0,n=0, 所以 + = 0, 2 + = 0, 解得 u=2v,w=-2v.取 v=1,得平面 DAC 的一个法向量 n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1), 所以 n=0,所以 n. 又
18、 BC不在平面 DAC 内, 所以直线 BC与平面 DAC 平行. 由=(1,0,0),得点 B 到平面 DAC 的距离 d=, | | = |2 1 + 1 0 + ( - 2) 0| 22+ 12+ ( - 2)2 = 2 3 所以直线 BC到平面 DAC 的距离为 . 2 3 19.(满分 12分) 如图,在三棱锥 P-ABC中,PB底面 ABC,BCA=90,PB=BC=CA=2,E 为 PC 的中点,点 F 在 PA 上, 且 2PF=FA. (1)求证:BE平面 PAC; (2)求直线 AB与平面 BEF所成角的正弦值. 解(1)PB底面 ABC,且 AC底面 ABC, ACPB.
19、 由BCA=90,可得 ACCB. 又 PBCB=B,AC平面 PBC. BE平面 PBC,ACBE. PB=BC,E 为 PC 的中点,BEPC. PCAC=C,BE平面 PAC. (2) 以点 B 为坐标原点,BC 所在直线为 x轴,BP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),. = + = + 1 3 =( 2 3, 2 3, 4 3) 设平面 BEF的法向量为 m=(x,y,z), 由 m=0,m=0,得 x+ y+ z=0,x+z=0. 2 3 2 3 4 3 取 x=1,则 y
20、=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面 BEF 的一个法向量. 又=(-2,-2,0), cos=-, | 6 3 直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值为. 6 3 20.(满分 12分) 如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,ABC= ,OA底面 ABCD,OA=2,M 为 4 OA的中点,N 为 BC 的中点. (1)求证:直线 MN平面 OCD; (2)求异面直线 AB与 MD 夹角的大小; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离. 解 作 APCD于点 P.如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
21、 A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N. ( 0, 2 2 ,0 ) (- 2 2 , 2 2 ,0 )( 1 - 2 4 , 2 4 ,0 ) (1)证明:. =( 1 - 2 4 , 2 4 , - 1 ), =( 0, 2 2 , - 2 ), =(- 2 2 , 2 2 , - 2 ) 设平面 OCD 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n=0,n=0,即 2 2 - 2 = 0, - 2 2 + 2 2 - 2 = 0. 取 z=,解得 n=(0,4,). 22 n=(0,4,)=0, ( 1 - 2 4 , 2 4 , - 1 ) 2
22、 又 MN平面 OCD,MN平面 OCD. (2)设 AB与 MD 的夹角为 , =(1,0,0), =(- 2 2 , 2 2 , - 1 ) cos =.= , | | = 1 2 3 即 AB 与 MD 的夹角的大小为 . 3 (3)点 B 到平面 OCD 的距离为 d=,点 B 到平面 OCD 的距离为 . | | = 2 3 2 3 21.(满分 12分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点 P 是棱 BB1上一点,满 足=(01).1 (1)若 = ,求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值; 1 3 (2)若平面
23、 PA1C 与平面 A1BC 的夹角的正弦值为 ,求 的值. 2 3 解以 A 为坐标原点,分别以 AB,AC,AA1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 Axyz.因为 AB=AC=1,AA1=2,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2). (1)由 = 得,=(1,0,-2),=(0,1,-2). 1 3 =(1, - 1,2 3),1 1 设平面 A1BC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 由1 1 = 0, 1 1 = 0,得 1 - 2 1 = 0, 1 - 2 1 = 0. 不妨取
24、z1=1,则 x1=y1=2, 从而平面 A1BC 的一个法向量为 n1=(2,2,1). 设直线 PC 与平面 A1BC 所成的角为 , 则 sin =|cos|=, | 1 |1| = 22 33 所以直线 PC 与平面 A1BC 所成的角的正弦值为. 22 33 (2)设平面 PA1C 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),=(1,0,2-2),1 由2 1 = 0, 2 1 = 0,得 2 - 2 2 = 0, 2+ (2 - 2)2 = 0. 不妨取 z2=1,则 x2=2-2,y2=2, 所以平面 PA1C的法向量为 n2=(2-2,2,1). 则 cos=. 9 - 4 3 4
25、2- 8 + 9 又因为二面角 P-A1C-B的正弦值为 ,所以,化简得 2+8-9=0,解得 =1 或 =- 2 3 9 - 4 3 42- 8 + 9 = 5 3 9(舍去),故 的值为 1. 22.导学号 90074052 (满分 12分)如图,在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD平面 FGH; (2)若 CF平面 ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面 FGH 与平面 ACFD 夹角的大小. (1)证法一连接 DG, CD,设 CDGF=O,连接 OH. 在三棱台 DEF-ABC中,AB=2DE,G 为 AC的中
26、点,可得 DFGC,DF=GC,所以四边形 DFCG 为平 行四边形. 则 O为 CD 的中点, 又 H为 BC 的中点,所以 OHBD,又 OH平面 FGH,BD平面 FGH,所以 BD平面 FGH. 证法二在三棱台 DEF-ABC 中,由 BC=2EF,H为 BC的中点,可得 BHEF,BH=EF, 所以四边形 BHFE 为平行四边形. 可得 BEHF. 在ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GHAB. 又 GHHF=H,所以平面 FGH平面 ABED. 因为 BD平面 ABED,所以 BD平面 FGH. (2)解法一设 AB=2,则 CF=1. 在三棱台 DE
27、F-ABC中,G 为 AC 的中点,由 DF= AC=GC,可得四边形 DGCF 为平行四边形,因此 1 2 DGFC. 又 FC平面 ABC,所以 DG平面 ABC. 在ABC 中,由 ABBC,BAC=45,G 是 AC中点,所以 AB=BC,GBGC,因此 GB,GC,GD 两两 垂直. 以 G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz. 所以 G(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),D(0,0,1). 22 可得 H,F(0,1), ( 2 2 , 2 2 ,0 ) 2 故=(0,1). =( 2 2 , 2 2 ,0 ), 2 设 n=(x,y,z)是平面 FGH
28、的一个法向量, 则由可得 = 0, = 0, + = 0, 2 + = 0. 可得平面 FGH的一个法向量 n=(1,-1,). 2 因为是平面 ACFD 的一个法向量,=(,0,0), 2 所以 cos=. | = 2 22 = 1 2 所以平面 FGH与平面 ACFD 夹角的大小为 60. 解法二作 HMAC 于点 M, 作 MNGF 于点 N,连接 NH. 由 FC平面 ABC,得 HMFC, 又 FCAC=C,所以 HM平面 ACFD. 因此 GFNH, 所以MNH 即为所求的角. 在BGC中,MHBG,MH= BG=, 1 2 2 2 由GNMGCF,可得,从而 MN=.由 HM平面 ACFD,MN平面 ACFD,得 HM = 6 6 MN,因此 tanMNH=,所以MNH=60. = 3 所以平面 FGH与平面 ACFD 夹角的大小为 60.