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1、第2课时 等差数列的性质,1.复习巩固等差数列的概念及其通项公式. 2.掌握等差中项的应用. 3.掌握等差数列的性质,并能解决有关问题.,1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 定义还可以叙述为: 在数列an中,若an+1-an=d(nN*),d为常数,则数列an是等差数列.常数d称为等差数列的公差. (2)通项公式:an=a1+(n-1)d ,a1为首项,d为公差. 【做一做1-1】 等差数列an的公差d=2,a1=2,则an等于( ). A.2 B.2n-
2、2 C.2n D.2n+2 解析:an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. 答案:C,【做一做1-2】 在等差数列an中,a3=7,a5=a2+6,则a6= . 解析:设公差为d,则a6=a3+3d=a3+(a5-a2)=7+6=13. 答案:13,2.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时A叫做a与b的等差中项.,【做一做2】 已知x+1与y-1的等差中项为10,则x+y等于( ). A.0 B.10 C.20 D.不确定 解析:由题意得,(x+1)+(y-1)=210,即x+y=20. 答案:C,等差数列的性质 剖析若数列an是公差为d的等差数列
3、,则 (1)当d=0时,数列为常数列;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列.,(3)an=am+(n-m)d(m,nN*). (4)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq.,(6)若数列an是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=ai+1+an-i =(n,iN*). (7)数列an+b(,b是常数)是公差为d的等差数列.,(8)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列. 由等差数列的定义及通项公式易证明性质(1)(2)(3)(4)(6)(
4、8),下面证明其他两个. 证明性质(5):an=a1+(n-1)d, am=a1+(m-1)d,ak=a1+(k-1)d, am+an=2a1+(m+n-2)d =2a1+(2k-2)d=2a1+2(k-1)d =2a1+(k-1)d=2ak. 证明性质(7):an=a1+(n-1)d,且,b为常数, an+b=a1+(n-1)d+b=(a1+b)+(n-1)d, an-1+b=a1+(n-2)d+b=(a1+b)+(n-2)d(n2), (an+b)-(an-1+b)=d(n2)为常数, 数列an+b也是等差数列,公差为d.,题型一,题型二,题型三,等差数列性质的应用 【例1】 设数列an为
5、等差数列,若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8. 分析方法一:依性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”求解即可. 方法二:将a3+a4+a5+a6+a7用a1,d表示,再将a2+a8用a1,d表示,从中寻找关系来解决. 解法一a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8, a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450, a5=90,a2+a8=2a5=180. 解法二an为等差数列,设首项为a1,公差为d, a3+a4+a5+a6+a7=a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=5a1+ 20d,即5a1+20d=450,a1+4d=90. a2+a
6、8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=180.,题型一,题型二,题型三,反思1.比较方法一和方法二,显然方法一要优于方法二,因此要注意灵活运用等差数列的性质解题. 2.等差数列的性质实质上是数列的定义、通项、等差中项的综合应用,因此应用得当可为解题带来极大的方便,如本题方法一.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 如果在等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7等于( ). A.14 B.21 C.28 D.35 解析:a3+a4+a5=12,3a4=12,a4=4. 又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故a1+a2+a7=7a4=28. 答案:C,题型一,
7、题型二,题型三,等差中项的应用 【例2】 已知三个数成等差数列,且是递增数列,它们的和为18,平方和为116,求这三个数. 分析充分利用等差中项的定义求解未知量. 解法一设这三个数分别为a,b,c,且abc.,解得a=4,b=6,c=8. 故这三个数是4,6,8.,题型一,题型二,题型三,解法二设这三个数分别为a-d,a,a+d,由,得a=6. 代入,得d=2. 该数列是递增数列,d=2. 这三个数为4,6,8. 反思当三个数或四个数成等差数列时,可设出这几个数,由已知条件列方程组求解;也可采用对称的设法,当有三个数时,设为a-d,a,a+d,当有四个数时,设为a-3d,a-d,a+d,a+3
8、d,利用已知条件列方程(组)先求出其中的a与d,再进一步解题.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 (1)已知等差数列an的前3项分别是a-1,(a+1)2,a+3,则该数列的通项公式是( ). A.an=2n-4 B.an=2n-3 C.an=2n-4或an=2n-3 D.an=a+2n-3 解析:a-1,(a+1)2,a+3成等差数列, 2(a+1)2=(a-1)+(a+3),a2+a=0. a=0或-1. 当a=0时,a1=-1,a2=1, d=2,an=2n-3. 当a=-1时,a1=-2,a2=0, d=2,an=2n-4. 故an=2n-3或an=2n-4. 答案:C,题型一,
9、题型二,题型三,(2)已知四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. 解设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d). 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, d2=1,d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,d0, d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.,题型一,题型二,题型三,易错辨析 易错点:对等差数列的性质理解不透致错 【例3】 设数列an是等差数列,ap=q,aq=p(pq),试求ap+q. 错解数列an是等差数列, ap+q=ap+aq=p+q. 错因分析性质am+an=ap+aq中必须是两项相加等于另两项相加,如a7+a8=a6+a9,并不是下标和相等即相等,如一般情况下,a15=a7+8a7+a8. 正解设数列an的公差为d,从而ap+q=ap+qd=q+q(-1)=0, ap+q=0.,题型一,题型二,题型三,反思利用等差数列的性质解决问题时,所用的性质必须是经过证明成立的,才能应用;否则,不能应用.,