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1、2.2.1 椭圆的标准方程,1.理解椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的定义.,1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 名师点拨在椭圆的定义中, (1)当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2. (2)当常数小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.,【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.线段 C.圆 D.以上都不对 解析:由题意可知,|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,故点M的轨迹
2、是线段F1F2. 答案:B 【做一做1-2】 已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1,F2的距离之和等于10,若椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3,则点Q到焦点F2的距离为( ) A.2 B.3 C.5 D.7 解析:由椭圆的定义得,点Q到另一个焦点的距离为10-3=7. 答案:D,2.椭圆的标准方程,名师点拨由求椭圆的标准方程的过程可知,只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到椭圆的标准方程.反之亦成立.,1.椭圆的定义 剖析:(1)用集合语言叙述为: 点集P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|; (2)在椭圆的定义中,要求常数必须大于|F1F2|,否则点的轨迹
3、就不是椭圆.,在椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的任一点M到两焦点的距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,如图,a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,都是正数,a是斜边,所以ab,ac,且a2=b2+c2,其中c是焦距的一半,叫做半焦距.,题型一,题型二,题型三,求椭圆的标准方程 【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过点(0,2)和(1,0);,分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,注意“定位”与“定量”的确定.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.当椭圆的焦点在坐标
4、轴上且两焦点的中点为坐标原点时,椭圆的方程是标准方程. 2.求椭圆的标准方程可分三步:(1)确定焦点所在的坐标轴;(2)求出a2,b2的值;(3)写出椭圆的标准方程. 3.已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m0,n0,且mn)的形式有两个优点:(1)列出的方程组中分母不含字母;(2)不用讨论焦点所在的坐标轴.,题型一,题型二,题型三,与椭圆有关的轨迹问题 【例2】 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A(1,0)的距离的和为定值m,试求点P的轨迹. 分析:分m2三种情况来讨论,即可求得所求的轨迹. 解:|PA|+|PA|=m,|AA|=2.
5、(1)当m2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A,A为焦点的椭圆. 2c=2,2a=m,题型一,题型二,题型三,反思在求动点的轨迹时,要对动点仔细分析,当发现动点到两定点的距离之和为定值时,首先要考虑它是否满足椭圆的定义,再确定其轨迹.一定要注意定值与两定点间距离的大小关系.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意: (1)不要忽略定义中的条件2a|F1F2|; (2)在没有明确椭圆焦点所在坐标轴的情况下,椭圆的标准方程可能有两个; (3)不要忽略标准方程中ab0这一条件.,1,2,3,4,5,1.到两定点F1(0,4),F2(0,-4)的
6、距离之和为6的点M的轨迹( ) A.是椭圆 B.是线段 C.是椭圆或线段或不存在 D.不存在 解析:因为|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=8, 所以轨迹不存在. 答案:D,1,2,3,4,5,2.焦点在x轴上,且过点(-5,0)和(0,3)的椭圆的标准方程为 .,1,2,3,4,5,3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 .,1,2,3,4,5,4.已知B,C是两个定点,|BC|=4,且ABC的周长等于10,则ABC的顶点A的轨迹方程为 . 解析:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示,由|BC|=4
7、,可知B(-2,0),C(2,0),由|AB|+|AC|+|BC|=10,可知|AB|+|AC|=6|BC|=4,因此点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a=6,但A不在x轴上,由a=3,c=2,得b2=a2-c2=9-4=5.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知点P在椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程. 分析:由点P到两焦点的距离分别为5,3,得2a=5+3;由过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,得(2c)2=52-32,从而可求得a,b,c,得到所求方程.,