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1、2.4 一些常见曲线的参数方程,1.借助教具或计算机软件,了解摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. 2.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在实际应用中的实例.,1,2,3,1.摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一圆周沿一直线作无滑动滚动时,圆周上的一定点的轨迹,圆的摆线也称为旋轮线.,1,2,3,2.渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上,把绳拉紧逐渐展开,绳的外端点随之移动,且绳的拉直部分始终和圆相切.绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线,固定的圆称为渐开线的基圆.,1,2,3,【做一做1
2、】 关于渐开线和摆线的叙述正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同 解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系,画出的渐开线形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案:C,1,2,3,3.圆的渐开线和摆线的参数方程 名师点拨圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既
3、烦琐又没有实际意义.,【做一做2-1】 半径为4的圆的渐开线的参数方程是 .,1,2,3,1,2,1.圆的渐开线和摆线的参数方程中,参数t的几何意义 剖析根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母a是指基圆的半径,而参数t是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度,如图,其中的AOB即是角t.显然点M由参数t唯一确定.我们在解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单. 同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的 过程,可知其中的字母a是指定圆的半径,参数 t是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张 开的角度.参数的几何意义可以在解决
4、问题中 加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.,1,2,2.圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程 剖析用参数方程描述运动规律,常常比用普通方程更直接、简便.有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线的普通方程, 可以根据其参数 得普通方程, 但根据方程画出曲线十分费时.而利用参数方程把两个变量x,y间接 地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相
5、比之下比普通方程更为直观.所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程.,题型一,题型二,题型三,【例1】 已知一个圆的摆线过定点(2,0),请写出该圆的半径最大时摆线的参数方程. 分析根据圆的摆线的参数 (2,0)代入参数方程求出a的表达式,根据表达式求出a的最大值,再确定对应的摆线的参数方程即可.,题型一,题型二,题型三,解:令y=0,可得a(1-cos t)=0. 因为a0,即cos t=1, 所以t=2k(kZ). 代入x=a(t-sin t),得x=a(2k-sin 2k)(kZ). 又因为x=2,题型一,题型二,题型三,【例2】 已知圆的直径为2,其渐开
6、线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别 分析先写出圆的渐开线的标准参数方程,再把A,B对应的参数代入标准参数方程可得对应的A,B两点的坐标,再使用两点之间的距离公式可得A,B之间的距离.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该圆的摆线的参数方程. 错解令a(1-cos t)=0,可得cos t=1,所以t=0,代入x=a(t-sin t)可得x=0.故此题无解. 错因分析在求得cos t=1时,直接得出t=0,导致答案错误.,题型一,题型二,题型三,1,2,3,4,5,1.如果 的摆线上一点的纵坐标为0,那么其横坐标可
7、能是( ) A. B.3 C.6 D.10 解析:根据已知条件可知圆的摆线的参数方程 把y=0代入,得cos t=1, 所以t=2k(kZ).而x=3t-3sin t=6k(kZ). 答案:C,1,2,3,4,5,2.给出下列说法:圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;圆的渐开线和x轴一定有交点,而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( ) A. B. C. D. 解析:对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置. 答案:C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.写出半径为2的圆的渐开线的参数方程.,