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1、二 圆内接四边形的性质与判定定理,1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其应用. 2.理解圆内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题. 3.了解反证法在证明问题中的应用.,1,2,3,4,1.性质定理1,1,2,3,4,【做一做1】 已知四边形ABCD内接于圆O,A=25,则C等于( ) A.25 B.75 C.115 D.155 解析:四边形ABCD内接于圆, A+C=180. 又A=25, C=180-A=155. 答案:D,1,2,3,4,2.性质定理2,1,2,3,4,【做一做2】 如图,四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,若ADC=32,则CBE等于(
2、) A.32 B.58 C.64 D.148 解析:四边形ABCD内接于圆O, CBE=ADC=32. 答案:A,1,2,3,4,归纳总结1.利用这两个性质定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明. 2.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形等.,1,2,3,4,3.圆内接四边形判定定理,1,2,3,4,【做一做3】 下列四边形的四个顶点共圆的是( ) A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 答案:B,1,2,4,3,4.推论,归纳总结性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定
3、理2和判定定理的推论互为逆定理.,1,2,4,3,【做一做4】 如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,D=80,E=50.求证:四边形ABCD内接于圆. 证明:BC=BE,E=BCE. 则EBC=180-2E=80, EBC=D.四边形ABCD内接于圆.,1.圆内接四边形的性质定理与判定定理 剖析:(1)圆的内接四边形的外角及内对角 如图,圆内接四边形ABCD的内角BAD的两个补角1和2称为圆内接四边形的外角.因为BAD和C两角相对,所以C称为1与2的内对角,且它们满足BAD+C=180,1=2=C. (2)判定定理与性质定理的内在联系 性质定理1和判定定理互为逆定理,
4、性质定理2与判定定理的推论互为逆定理.,2.与圆内接四边形有关的相似三角形 剖析:如图,通过掌握与圆有关的相似三角形的基本图形,可以在解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤,对图形运用自如,融为一体,做出连贯反应. 基本图形1 基本图形2 基本图形3,基本图形1:圆的任意内接四边形ABCD,有AEDBEC,DECAEB. 基本图形2:四边形ABCD内接于O,AD,BC的延长线交于点F,其中相似三角形有AEDBEC,AEBDEC,CDFABF,ACFBDF. 基本图形3:四边形ABCD内接于O,AD,BC的延长线交于点F,AB为直径,其中相似三角形有DECAEB,FDCFBA,RtAFCRtBF
5、DRtAEDRtBEC.,题型一,题型二,题型三,【例1】 如图,在ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且APBC于点P.求证:E,D,P,F四点共圆. 分析:连接PF,转化为证明FED=FPC,先利用中点证明FED=C,再利用APBC证明PF=FC,得C=FPC,即得出FED=FPC.,题型一,题型二,题型三,证明:如图,连接PF. APBC,F为AC的中点, PF是RtAPC斜边上的中线. PF=FC,FPC=C. E,F,D分别为AB,AC,BC的中点, EFCD,EDFC. 四边形EDCF为平行四边形. FED=C,FPC=FED. E,D,P,F四点共圆.,题型一,题型
6、二,题型三,反思判定四点共圆的方法:如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆;如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆(如本题);与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,DEAB,DFAC,点E,F是垂足. 求证:E,B,C,F四点共圆.,题型一,题型二,题型三,证明:如图,连接EF, DEAB,DFAC, A,E,D,F四点共圆. 1=2. AD是BC边上的高, 1+C=2+C=90.
7、 BEF+C=180. B,E,F,C四点共圆.,题型一,题型二,题型三,【例2】 如图,已知四边形ABCD内接于O,延长AB和DC相交于点E,EG平分AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证:CFG=DGF. 分析:由BEF=DEG,可证明EBFEDG,又BFE与CFG是对顶角,问题获证.,题型一,题型二,题型三,证明:四边形ABCD内接于O, EBF=ADE. 又EF是AED的平分线, 则BEF=DEG, EBFEDG. EFB=DGF. 又EFB=CFG, CFG=DGF. 反思当已知条件中出现圆内接四边形时,常用圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直
8、线平行等问题创造条件.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 如图,两圆O1,O2相交于点A,B.O1的弦BC交O2于点E,O2的弦BD交O1于点F. 求证:(1)若DBA=CBA,则DF=CE; (2)若DF=CE,则DBA=CBA.,题型一,题型二,题型三,证明:(1)如图,连接AE,AF,AC,AD,则3=4,5=6. AD=AE,ACEAFD. 故CE=DF. (2)由(1)得3=4,5=6. 又DF=CE,ACEAFD, AD=AE, 1=2,即DBA=CBA.,题型一,题型二,题型三,易错点:错用圆内接四边形的外角等于它的内角的对角这一定理而致错,【例3】 如图,四边形ABCD是O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,若CBE=40,则AOC等于( ) A.20 B.40 C.80 D.100 错解:四边形ABCD是O的内接四边形, 根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,得CBE=COA=40.故选B. 错因分析:上述解答错误的原因是对性质定理2的理解不透彻,不能准确理解“外角等于它的内角的对角”的含义.所谓的“内角的对角”通常是指圆周角.,题型一,题型二,题型三,正解:四边形ABCD是圆内接四边形,且CBE=40,由圆内接四边形的性质知D=CBE=40.又由圆周角定理知AOC=2D=80. 答案:C,