《2019-2020学年新培优同步人教A版数学必修二课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年新培优同步人教A版数学必修二课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 .pptx（30页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系,1.掌握空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义中“不同在”的含义. 2.知道两条异面直线所成角的意义,掌握两条直线垂直的含义. 3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解决有关问题.,1,2,3,4,5,1.异面直线 (1)概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. (2)图示:如图,为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托.,1,2,3,4,5,【做一做1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的棱是( ) A.AB B.BB1 C.DD1 D.B1C1 解析:AA1BB1,AA1DD1,A
2、A1AB=A,AA1与B1C1是异面直线. 答案:D,1,2,3,4,5,2.空间两条直线的位置关系,名师点拨1.若无特别说明,本书中的两条直线均指不重合的两条直线. 2.空间两条直线的位置关系,1,2,3,4,5,【做一做2】 不平行的两条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 解析:由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面. 答案:D,1,2,3,4,5,3.公理4,1,2,3,4,5,【做一做3】 已知直线a直线b,直线b直线c,直线c直线d,则a与d的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
3、解析: ab,bc,ac.又cd,ad. 答案: A,1,2,3,4,5,4.等角定理,归纳总结等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,当这两个角的两边方向分别相同或相反时,它们相等,否则它们互补.,1,2,3,4,5,【做一做4】 已知BAC=30,ABAB,ACAC,则BAC=( ) A.30 B.150 C.30或150 D.60 答案:C,1,2,3,4,5,5.两条异面直线所成的角(夹角) (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 名师点拨在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理
4、,可以断定异面直线所成的角与a,b所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,是通过转化为相交直线所成的角来解决的.,(2)异面直线所成的角的范围:090. (3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作ab. 【做一做5】 在长方体ABCD-ABCD中,与棱AA垂直且异面的棱有 . 答案:BC,BC,CD,CD,1,2,1.对异面直线的理解 剖析:异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.要注意异面直线定义中“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可
5、以理解为:如果a与b是异面直线,那么在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b这两条直线.,1,2,例如,在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在的直线既不平行也不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线,则AB和B1C1是异面直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异面. 有以下方法可以判断两条直线是异面直线: (1)定义法(直观判断法):由定义判断两条直线不可能在同一个平面内.或者用下面的结论:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.,1,2,用符号语言表示为:B,A,a,Aa,则a与直线A
6、B为异面直线.图形如图所示. (2)排除法:排除两条直线共面(平行或相交),则这两条直线是异面直线.,1,2,2.作出两条异面直线所成的角 剖析:根据异面直线所成角的定义,通常在两条异面直线中的一条直线上取一点,然后作另一条直线的平行线即可.但是,在作辅助线之前最好观察图形,看看在所给的图形中,有没有满足定义的角,如果没有,再作辅助线.,1,2,例如,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB和B1C1是异面直线.由于ABA1B1,则A1B1C1就是它们所成的角,当然ABC也是它们所成的角;对于异面直线AD1和B1C来说,在图中就没有它们所成的角,这就需要作辅助线,连接BC1交B
7、1C于点E,则BC1AD1,故C1EC是异面直线AD1和B1C所成的角或其补角.很明显C1EC是等腰直角三角形,C1EC=90,即异面直线AD1和B1C所成的角为90.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点.求证:BFED1. 证明:如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE. 因为F为CC1的中点, 所以BGC1F,且BG=C1F, 即四边形BGC1F为平行四边形. 所以BFGC1. 又EGA1B1,A1B1C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1, 所以EGC1D1,且EG=C1D1, 即四边形EGC1D1为平
8、行四边形. 所以ED1GC1. 所以BFED1.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思证明两条直线平行的方法: (1)平行线的定义; (2)三角形中位线、平行四边形的性质等; (3)公理4.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 如图,P是ABC所在平面外一点,D,E分别是PAB和PBC的重心.求证:DEAC.,题型一,题型二,题型三,题型四,证明 连接PD,PE并延长分别交AB,BC于点M,N,如图所示. 因为D,E分别是PAB,PBC的重心,所以M,N分别是AB,BC的中点,连接MN,则MNAC.在PMN中,因为 所以DEMN,所以DEAC.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例
9、3】 已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点,求证:BEC=B1E1C1. 证明:如图,连接EE1. 因为E,E1分别是AD,A1D1的中点, 所以AEA1E1,且AE=A1E1, 即四边形AEE1A1是平行四边形. 所以AA1EE1,且AA1=EE1. 又AA1BB1,且AA1=BB1, 所以EE1BB1,且EE1=BB1,即四边形BEE1B1是平行四边形. 所以BEB1E1.同理可证CEC1E1. 又BEC与B1E1C1的两边方向相同,所以BEC=B1E1C1.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等,此时要注意
10、观察这两个角的方向必须相同,且能证明它们的两边对应平行.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明BGC=FD1E.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD,ABCD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角的大小.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.求两条异面直线所成的角的一般步骤: (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出两条异面直线所成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:寻找
11、或作出含有此角的三角形,求解计算; (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. 2.过一点作两条异面直线所成的角时,常把这个点取在其中一条直线上的特殊位置,或是图形的特殊点,这样可方便于求这个角的大小. 3.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段,是解决立体几何问题最重要的辅助线.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交于点O,求直线OB1与A1C1所成的角的大小.,题型一,题型二,题型三,题型四,解: 如图,连接AB1,B1C,因为ACA1C1,所
12、以B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角. 因为AB1=B1C,O为AC的中点,所以B1OAC,即B1OC=90.故OB1与A1C1所成的角的大小为90.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点:考虑问题不全面致误 【例4】 和两条异面直线都相交的两条直线(不重合)的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行 错解如图,直线AB与异面直线a,b分别相交于点A,B,直线CD与异面直线a,b分别相交于点C,D,则A,B,C,D四点不可能共面,否则与a,b异面矛盾,故直线AB与CD异面.故选B.,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析错解中忽略了两条直线与两条异面直线的交点有3个的情况. 正解分两类进行讨论.(1)若两条直线与两条异面直线的交点有4个,同错解,得两条直线异面. (2)若两条直线与两条异面直线的交点有3个,如图,则两条直线相交. 答案C 反思在立体几何中,当空间点、直线、平面之间的位置关系不确定时,要注意分类讨论,避免片面地思考问题.在判断两条直线的位置关系时,可通过画出相关图形帮助分析.,