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1、习题课等比数列习题课,1.了解分期付款的含义,理解复利的实质. 2.掌握有关分期付款的还贷问题. 3.掌握数列求和的常用方法错位相减法.,题型一,题型二,题型三,题型四,等比数列的基本运算 【例1】 (1)已知Sn为等比数列an的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,求项数n. (2)已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数. 分析:(1)可通过建立关于首项a1,项数n的方程求解. (2)根据条件可设出其中的两个数,再通过一些条件表示出另两个数,然后求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,又q=2,可解得n=5. (2)设
2、前两个数分别为a,b,则第三、四个数分别为36-b,37-a,由题意,题型一,题型二,题型三,题型四,反思等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想,简化运算的过程.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 在等比数列an中,a1+an=66,a2an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.
3、解:a1an=a2an-1=128,且a1+an=66, a1,an是方程x2-66x+128=0的两根, x1=2,x2=64.,题型一,题型二,题型四,题型三,错位相减法求和 【例2】 求数列1,3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1的前n项和. 分析:数列中含字母参数,应注意分类讨论,利用错位相减法.,解:当a=0时,数列变为1,0,0,0, 则Sn=1+0+0=1, 当a=1时,数列变为1,3,5,7,(2n-1), 当a1且a0时, Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1, aSn=a+3a2+5a3+7a4+(2n-1)an,题型一,题型二,题型四,题型三,反思对
4、含参类求和问题要养成分类讨论的习惯.,由-,得 Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an, 即有(1-a)Sn =1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+an-1),题型一,题型二,题型四,题型三,【变式训练2】 已知数列an的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3. (1)求an; (2)求数列nan的前n项和Tn. 解:(1)当n1时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1), a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2, an=2(2n-2n-1)=22n-2n=2n. 当n
5、=1时,a1=S1=2, 综上所述,an=2n(nN+).,题型一,题型二,题型四,题型三,(2)nan=n2n, 则Tn=2+222+323+n2n, 2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1, 由-,得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1, Tn=2+(n-1)2n+1.,题型一,题型二,题型三,题型四,转化为等比数列问题 【例3】 设数列an的前n项和Sn= ,nN+,求数列an的通项公式. 分析:解答本题可充分利用Sn与an的关系式,将问题转化为等比数列问题来求解.,整理得an+2n=4(an-1+2n-1), 所以数列an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等
6、比数列. 所以an+2n=44n-1,所以an=4n-2n.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.将一个数列问题转化为等比(差)数列来求解,这是求解有关数列通项公式与前n项和公式的基本思想. 2.已知数列an的首项a1,且an+1=man+k(m,k为常数). (1)当m1时,可得an+1-c=m(an-c),则有an+1-man=c(1-m),c= ,转化为等比数列求解. (2)当m=1时,an+1-an=k,利用等差数列求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,等差与等比数列的综合问题 【例4】 等差数列an的各项均为正数,
7、a1=3,前n项和为Sn,bn为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960. (1)求an与bn;,分析:(1)中根据已知条件列方程组求an,bn.(2)中应先求出Sn再求和.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,则d0,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思等差数列与等比数列的综合问题,解答时应注意在题设条件下,寻求它们之间的内在联系,寻求它们之间的相互转化,寻求它们之间的相互利用.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 已知数列an为等差数列,且a3=-6,a6=0. (1)求数列
8、an的通项公式; (2)若等比数列bn满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求bn的前n项和公式. 解:(1)设等差数列an的公差为d. 因为a3=-6,a6=0,解得a1=-10,d=2. 所以an=-10+(n-1)2=2n-12. (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,q=3.,1 2 3 4 5,1等比数列an的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为( ),解析:设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q1.,答案:C,
9、1 2 3 4 5,2已知数列an为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为 ,则S5=( ) A.35 B.33 C.31 D.29,答案:C,1 2 3 4 5,答案:C,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5设Sn为数列an的前n项和,已知a10,2an-a1=S1Sn,nN+. (1)求a1,a2,并求数列an的通项公式; (2)求数列nan的前n项和.,因为a10,所以a1=1. 令n=2,得2a2-1=S2=1+a2. 解得a2=2. 当n2时,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1两式相减得2an-2an-1=an. 即an=2an-1. 于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列. 因此,an=2n-1. 所以数列an的通项公式为an=2n-1.,1 2 3 4 5,(2)由(1)知,nan=n2n-1. 记数列n2n-1的前n项和为Bn,于是 Bn=1+22+322+n2n-1, 2Bn=12+222+323+n2n. 由-,得 -Bn=1+2+22+2n-1-n2n =2n-1-n2n. 从而Bn=1+(n-1)2n.,