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1、第2课时 复数的几何意义,1.掌握复数的几何意义,了解复数z=a+bi(a,bR)与有序实数对(a,b)、点Z(a,b)的一一对应关系. 2.掌握复数的模及其共轭复数的概念,能够求出所给复数的模及其共轭复数.,1,2,3,1.复数的几何意义 通过有序实数对,可以建立复数z=a+bi(a,bR)和点Z(a,b)(或向,1,2,3,【做一做1-1】 在复平面内,设z=(2m-3)+(7+3m)i对应的点Z在第二象限,则实数m的取值范围是 . 解析:由题意可知,点Z的坐标为(2m-3,7+3m). 因为点Z在第二象限,【做一做1-2】 若向量a的坐标为(x,y),则在复平面内它对应的复数应是( )
2、A.x+yi B.y+xi C.x+yi或y+xi D.x+yi或x-yi 答案:A,1,2,3,2.复平面 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.x轴的单位是1,y轴的单位是i. (2)显然,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.即任意一个实数a与x轴上的点(a,0)一一对应,任意一个纯虚数bi(b0)与y轴上的点(0,b)一一对应.,1,2,3,归纳总结对复平面内的点与向量的一一对应的理解要明确三点: (1)复数与向量之间建立一一对应关系的前提是向量的起点都是原点O,若向量的起点不统一,是原点以外的点,复数与向量之间就
3、不能建立一一对应关系. (2)Z(a,b)与向量 是复数z=a+bi(a,bR)的另外两种表示形式,它们都是复数z的几何表示. 这种对应关系的建立,为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件. (3)为方便起见,我们常把复数z=a+bi(a,bR)说成点Z或说成向量 ,并且规定：:相等的向量表示同一个复数.,1,2,3,【做一做2-1】 在复平面内,下列命题中的真命题是 ( ) A.虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的 B.实部、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的 C.实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的 D.实轴上侧的点的
4、集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的 解析:由于虚数集中有纯虚数,故选项A不正确;实部、虚部都是负数的复数对应的点应在第三象限内,故选项B不正确;实部为负数的复数对应的点可能在实轴负半轴上,故选项C不正确. 答案:D,1,2,3,【做一做2-2】 在复平面内,下列命题中的真命题有 .(填序号) x轴为实轴; y轴为虚轴; 实轴上的点对应的复数全为实数; 虚轴上的点对应的复数全为纯虚数; 实轴与虚轴的单位都是1. 解析:原点在虚轴上,它对应的复数为0,故不正确;实轴的单位是1,虚轴的单位是i,故不正确. 答案:,1,2,3,3.复数的模、共轭复数,(2)如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反
5、数,则这两个复数叫,显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等. 名师点拨复数的模的几何意义是复数a+bi(a,bR)所对应的点Z(a,b)到原点的距离.,1,2,3,【做一做3-2】 若x-1+yi与i-3x是共轭复数,则实数x= ,实数y= .,复数的两种几何意义有何作用? 剖析:这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.,注意:(1)复数z=a+bi(a,bR)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi);,题型一,题型二,题型三,题型四,复数与复平面内
6、的点的对应关系 【例题1】 当实数m取怎样的值时,复数z=(m2-3m+2)+(m2-2m-8)i在复平面内的对应点在第四象限内? 分析:复数z=a+bi(a,bR)与复平面内的点Z(a,b)建立了一一对应关系,因此只要依据各象限内点的符号特征列出不等式组并求解,即可得到m的取值范围. 解:要使z在复平面内的对应点在第四象限,解得-2m1或2m4, 即为所求m的取值范围.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思复数的实部、虚部的符号与其对应点所在的象限密切相关,实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上.若实部为正且虚部为正,则复数的对应点在第一象限;若实部为负且虚部为正,则复数的对应点在第二象限;
7、若实部为负且虚部为负,则复数的对应点在第三象限;若实部为正且虚部为负,则复数的对应点在第四象限.此外,若复数的对应点在某些曲线上,还可写出其代数形式的一般表达式.如:复数z的对应点在直线x=1上,则z=1+bi(bR);复数z的对应点在直线y=x上,则z=a+ai(aR)等.,题型一,题型二,题型四,题型三,共轭复数 【例题2】 已知复数x2+x-2+(x2-3x+2)i(xR)是4-20i的共轭复数,求实数x的值. 分析:由共轭复数的定义,列出关于x的方程组并求解即可. 解:复数4-20i的共轭复数为4+20i, 由题意,得x2+x-2+(x2-3x+2)i=4+20i. 根据复数相等的定义
8、, 方程的解为x=-3或x=2. 方程的解为x=-3或x=6. 故x的值为-3. 反思根据共轭复数的定义,将其转化为复数相等的问题来求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,复数模的问题 【例题3】 设全集U=C,A=z|z|-1|=1-|z|,zC,B=z|z|1,zC,若zA(UB),求复数z在复平面内的对应点的轨迹. 分析:求复数z在复平面内的对应点的轨迹,借助复数模的几何意义可知,只需求|z|所满足的条件即可.而这由zA(UB)及集合的运算即可得出.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:zC,|z|R,1-|z|R. 由|z|-1|=1-|z|,得1-|z|0, 即|z|1,A=z|z|
9、1. 又B=z|z|1,zC, UB=z|z|1,zC. zA(UB)等价于zA,且zUB, 由 得|z|=1.由模的几何意义知,复数z在复平面内的对应点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆. 反思对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内的对应点与原点的距离,所以复数的模是绝对值概念由实数的一维空间向二维空间的一种推广.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:复数的模是实数的绝对值概念的扩充,但在求解有关问题时,不能当成实数的“绝对值”求解,这样易漏解. 【例题4】 已知aC,bC,则下列命题中正确的有 .,错解
10、: 错因分析:对于,由于aC,bC,若|a|=|b|=r0,则复数a,b对应的点的轨迹都是以原点为圆心,r为半径的圆,故不正确. 正解:,题型一,题型二,题型三,题型四,反思|z|=r(r0)的几何意义:复数z对应的点的集合是以原点为圆心,r为半径的圆.,1 2 3 4 5,1i+i2在复平面内表示的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:i+i2=-1+i,它在复平面内的对应点为(-1,1),在第二象限. 答案:B,1 2 3 4 5,2给出下面四个不等式,其中正确的是( ) A.3i2i B.|2+3i|1-4i| C.|2-i|2 D.i2-i,答案:C,1 2 3 4 5,A.-2-i B.2+i C.1+2i D.-1+2i,答案:B,1 2 3 4 5,4复数z=(x-1)+(2x-1)i,且|z| 则实数x的取值范围是 .,1 2 3 4 5,答案:5,