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1、3.4 基本不等式:,第1课时 基本不等式,1.理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件. 2.能利用基本不等式求代数式的最值.,1.重要不等式 一般地,对于任意实数a,b,我们有a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立. 归纳总结1.公式中a,b的取值是任意的,a和b代表的是实数,它们既可以是具体的数字,也可以是比较复杂的代数式,因此其应用范围比较广泛.今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化,使之可以利用该公式来证明.,【做一做1】 已知x2+y2=4,则xy的最大值是( ).,答案:C,2.基本不等式,名师点拨从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,
2、几何平均数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项. 【做一做2】 已知ab=16,a0,b0,则a+b的最小值为 . 答案:8,2.与基本不等式有关的常用结论 剖析(1)已知x,yR,若xy=P(积为定值),则x2+y22P,当且仅当x=y时,平方和x2+y2取得最小值2P. (2)已知x0,y0,题型一,题型二,题型三,比较大小 【例1】 当a,b为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是( ).,题型一,题型二,题型三,答案:D 反思利用基本不等式比较实数大小: (1)在应用基本不等式时,一定要注意是否满足条件,即a0,b0. (2)若问题中
3、一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式求解.,题型一,题型二,题型三,A.PQM B.QPM C.QMP D.MQP,答案:B,题型一,题型二,题型三,利用基本不等式求最值,题型一,题型二,题型三,在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.,题型一,题型二,题型三,解:(1)x0,f(x)的最小值为12.,题型一,题型二,题型三,分析由于已知条件右边是一定值1,且左边各项均为正数,所以可以用整体换元、
4、代入消元、“1”的代换等方法求解.,题型一,题型二,题型三,反思1.本题易错解为:,xy36.x+y2 =12. 这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不存在满足题设条件的x,y,使(x+y)min=12. 2.已知“和式”求“和式”的最值时,常利用整体代入的思想,使用基本不等式求出最值.,题型一,题型二,题型三,解lg x+lg y=1,xy=10,题型一,题型二,题型三,易错辨析 易错点:忽略基本不等式成立的条件致错,错因分析上述解题过程中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件两个数应大于零,因而导致错误.因为函数,题型一,题型二,题型三,正解函数定义域是(-,0)(0,+).,