《2019版数学人教B版选修2-1课件：3.2.3-3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版数学人教B版选修2-1课件：3.2.3-3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量 .pptx（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量,1.理解斜线和平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性. 2.会求直线与平面所成的角. 3.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角. 4.掌握求二面角大小的基本方法.,1.直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角为90; (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为0; (3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角); (4)直线与平面的夹角的范围是0,90. 【做一做1】 已知直线l的一个方
2、向向量与平面的法向量的夹角为135,则直线l与平面的夹角为( ) A.135 B.45 C.75 D.以上均错 解析:因为直线与平面的夹角的范围是0,90,所以直线l与平面的夹角为180-135=45,90-45=45. 答案:B,2.最小角定理 (1)线线角、线面角的关系式: cos =cos 1cos 2, 如图,是OA与OM所成的角, 1是OA与OB所成的角, 2是OB与OM所成的角. (2)最小角定理: 斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内 所有直线所成角中最小的角. 【做一做2】 已知一条直线与平面的夹角为30,则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为( ) A.30
3、 B.60 C.90 D.150 答案:A,3.二面角的定义及表示方法 (1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面. (2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为,的二面角,记作 - l - .若A,B,二面角也可以记作 A - l - B. (3)二面角的平面角 在二面角 - l - 的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OAl,OBl,则AOB叫做二面角 - l - 的平面角. (4)二面角的范围是0,180. (5)平面角是直角的二面角叫做直二面角.,名师点拨1.二面角是图形,它是
4、由两个半平面和一条棱构成的图形. 2.符号 - l - 的含义是棱为l,两个面分别为,的二面角. 3.两个平面相交,构成四个二面角.,【做一做3】 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,二面角A - B1C - A1的平面角的正切值为( ),4.设m1,m2,则角与二面角 - l - 相等或互补. 【做一做4】 若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3,-6,5),则这个二面角的余弦值是( ),解析:43+2(-6)+05=0,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直.故这个二面角的余弦值是0. 答案:A,1.如何理解直线与平面所成的角? 剖析:(1)直线与平面斜交时,直线与平面
5、所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角; (2)直线与一个平面垂直时,直线与平面的夹角为90; (3)一条直线与一个平面平行或在平面内时,直线与平面的夹角为0. 2.如何用向量求线面角? 剖析:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线与平面所成的角为,则sin =|cosa,3.如何理解二面角的平面角? 剖析:二面角的平面角必须具备三个条件: (1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上; (2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内; (3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直,且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关. 4.如何求二面角? 剖析:(1)作出二面角的平面角; (2
6、)利用法向量的夹角.,题型一,题型二,题型三,题型四,用定义法求直线与平面所成的角,分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后解三角形求出线面角. 解:OA=OB=OC=a, AOB=AOC=60, AB=AC=a. 为等腰直角三角形.同理,BOC也为等腰直角三角形.如图,过点A作AH于点H,连接OH,则OH为AO在平面内的射影,AOH为OA与平面所成的角.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.,题型一
7、,题型二,题型三,题型四,用向量法求直线与平面所成的角 【例2】 在直三棱柱ABC - A1B1C1中,ACB=90,AC=2BC, A1BB1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值. 分析:因为是直三棱柱,所以本题可建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思利用向量法求斜线与平面的夹角的优势在于不用找角,只需建立适当的坐标系,用待定系数法求出平面的法向量,再用公式求解即可.但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系.,题型一,题型二,题型三,题型四,用定义法求二面角的大小,【例3】 如图,
8、在四面体ABCD中,AD平面BCD,AD=DC=BC=a,(1)求证:平面ABC平面ADC; (2)求二面角C - AB - D的大小. 分析:(1)可利用面面垂直的判定定理证明; (2)利用平面ABC垂直于平面ADC,作出所求二面角的平面角,然后解三角形求角.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思所谓定义法,就是作出二面角的平面角,然后通过解三角形求解.作出二面角的平面角常用的方法有:(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;(2)在二面角的一个面上取一点,利用三垂线定理作平面角;(3)在二面角的棱上取一点,分别在两个面内作出和棱垂直的射线.,题型
9、一,题型二,题型三,题型四,用向量法求二面角的大小 【例4】 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,求二面角A1 - BD - C1的余弦值. 分析:本题可建立空间直角坐标系,分别求平面C1BD和平面A1BD的一个法向量,然后通过法向量的夹角的余弦值求得二面角的余弦值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,1,2,3,4,5,1.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( ),解析:设BC的中点为E,则OAE就是AO与平面ABCD所成的角. 答案:C,1,2,3,4,5,2.若正三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,则侧棱与底面所成的角的正切值是( ),答案:B,1,2,3,4,5,3.若BC在平面内,斜线AB与平面所成的角为,ABC=,AA平面,垂足为A,ABC=,那么 ( ) A.cos =cos cos B.sin =sin sin C.cos =cos cos D.cos =cos cos 答案:A,1,2,3,4,5,4.已知正四面体ABCD,则二面角A - BC - D的余弦值为 ( ),1,2,3,4,5,5.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面,的两个法向量,则锐二面角 - l - 的大小是( ) A.45 B.90 C.60 D.120,