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1、2.2.2 反证法,1.掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点. 2.学会写出命题的否定,并以此作条件推出矛盾结论,即学习用反证法证明简单题目.,反证法 一般地,由证明pq转向证明: qrt,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定 q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.,名师点拨1.反证法适宜证明“存在性,唯一性,带有至少有一个或至多有一个等字样”的一些数学问题. 2.应用反证法证明数学命题的一般步骤: (1)分清命题的条件和结论; (2)做出与命题结论相矛盾的假设; (3)由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果; (4)断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论
2、成立,从而间接地证明命题为真. 常见的主要矛盾有:与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾; 与临时假设矛盾; 与公认的事实矛盾或自相矛盾等.,【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( ) 结论的相反判断,即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原结论. A. B. C. D. 答案：C,【做一做2】 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,假设正确的是( ) A.假设三角形的内角中至少有一个钝角 B.假设三角形的内角中至少有两个钝角 C.假设三角形的内角中没有一个钝角 D.假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角 解析：“至多有一
3、个”的反面为“至少有两个”. 答案：B,如何理解反证法? 剖析：反证法证题的特征:通过导出矛盾、归结为谬误,而使命题得证. 反证法的原理是“否定之否定等于肯定”. 反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确,即证明命题的逆否命题成立.否定结论:对结论的反面要一一否定,不能遗漏;否定一个反面之反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法.要注意用反证法解题,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾. 用反证法证明不等式,常用的否定形式有:“”的反面为“”;“”的反面为“”;“
4、”及“”.,反证法属逻辑方法范畴,它的严谨性体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中:第一个否定是指“否定结论”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”. 反证法不是直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的正确性.,题型一,题型二,题型三,题型四,命题的结论是否定型,(1)证明函数f(x)在(-1,+)内为增函数; (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 分析：应用增函数定义证明第一问;第二问的结论是否定型的,适合用反证法.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一
5、,题型二,题型三,题型四,反思 在解题过程中提出假设,分类讨论等都是在合理地增设条件,为解题提供帮助.,题型一,题型二,题型三,题型四,命题的结论涉及至多、至少及存在型,分析：命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时,应用直接方法证明时难度很大,根据正难则反的思想,应用反证法证明.本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”,然后由假设入手,应用均值不等式证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立,反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般表现形式是:或者是A,或者是非A,即在同一讨论过程中,A和非A有一个且仅
6、有一个是对的,不能有第三种情形出现.,题型一,题型二,题型三,题型四,唯一性命题的证明,【例题3】 求证:过直线外一点只有一条直线与它平行. 分析：本题属唯一性的证明问题,用反证法证明. 答案：已知Aa,Ab,ba, 求证:b唯一. 证明：假设过点A还有一条直线ba. 根据平行公理,ba,bb, 与bb=A矛盾. 假设不成立,原命题成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析,易错点:运用反证法时,第一步否定结论易错.因为有些结论的对立面不易确定,从而导致错误. 【例题4】 用反证法证明命题“a,b为整数,若ab不是偶数,则a,b都不是偶数”时,应假设 . 错解：a,b不都是偶数 错因分析
7、：a,b不都是偶数包括的情况是: a是偶数,b是奇数; a是奇数;b是偶数; a,b都不是偶数.显然,否定的结论并不是结论的对立面,所以不正确,题目中“a,b都不是偶数”指“a,b都是奇数”. 正解：a,b不都是奇数,1,2,3,4,5,1反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾.这个矛盾可以是( ) 与已知矛盾;与假设矛盾;与定义、定理、公理、法则矛盾;与事实矛盾. A. B. C. D. 答案：D,1,2,3,4,5,2命题“在ABC中,若AB,则ab”的结论的否定应该是( ) A.ab B.ab C.a=b D.ab 解析：“大于”的否定是“不大于”,即“小于”或“等于”. 答案：B,1
8、,2,3,4,5,3“M不是N的子集”的充要条件是( ) A.若xM,则xN B.若xN,则xM C.存在x1Mx1N,又存在x2Mx2N D.存在x0Mx0N 解析：按定义,若M是N的子集,则集合M的任一个元素都是集合N的元素.所以,要使M不是N的子集,只需存在x0M但x0N.选D. 答案：D,1,2,3,4,5,4设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于 .,1,2,3,4,5,5用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b为实数)”时,应假设 . 解析：“a,b全为0”即“a=0,且b=0”,它的否定为“a0或b0”,即“a,b不全为0”. 答案：a,b不全为0(a,b为实数),