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1、第三章 不等式,3.1 不等关系与不等式,3.1.1 不等关系与不等式,1.了解不等式(组)的实际背景. 2.理解不等式的概念,了解实数运算的符号法则与两实数大小顺序之间的关系. 3.能用作差法比较大小.,1.不等关系与不等式 (1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换,(2)不等式的定义:含有不等号的式子. 2.实数大小的比较 (1)数轴上的两点A,B的位置关系与其对应实数a,b的大小关系. 数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.,数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B),如下:,(2)比较两个实数的大小.,归纳总结作差法比较两个实数大小的基本
2、步骤 (1)作差. (2)变形.将两个实数作差,作差后变形为: 常数;几个平方和的形式;几个因式积的形式. (3)定号,即判断差的符号是正、负还是零. (4)结论.利用实数大小之间的关系得出结论.,【做一做1】 下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( ) A.a-b0 B.a-b0, ,则P与Q的大小关系是( ) A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ,a,b0,P2Q2.PQ. 答案:C,一,二,一、比较大小常用的方法 剖析:证明一个不等式和比较实数的大小一样,根据题目的特点可以有不同的证明方法. (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法,但是它们又有各自的适用范围,
3、在解决这些问题的时候,根据实际情况选择其中一种合适的方法.要根据题目的具体结构特点,和差的形式一般用作差法,乘除的形式一般用作商法. 作差法要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解,配方或者其他变形操作,所以,作差后必须变形到容易判断式子符号.,一,二,作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成能与1比较大小的式子,此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子的大小比较,例如,比较aabb与 的大小就可以使用作商法.,(2)要注意不等式与函数的结合,函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具,尤其是函数的单调性.如:ab
4、a3b3,可根据幂函数y=x3在R上单调递增得到. 名师点拨利用比较法来比较两个代数式或实数的大小时,注意分情况对变量进行讨论,讨论时应做到不重不漏.,一,二,二、教材中的“思考与讨论”,题型一,题型二,题型三,题型四,用不等式(组)表示不等关系 【例1】 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式. 分析:解答本题只需用不等式表示上述不等关系即可. 解:设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则,题型一,题型二,题型三,
5、题型四,反思用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,应首先读懂题意,设出未知量,寻找不等关系的根源,将不等关系用未知量表示出来,即得到不等式或不等式组,这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 某厂使用两种零件A,B,装配甲、乙两种产品,该厂的生产能力是月产甲最多2 500件,月产乙最多1 200件,而组装一件甲需要4个A,2个B;组装一件乙需要6个A,8个B,某个月,该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000个.用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来. 解:设甲、乙两种产品产量分别为x件、y件, 由题意,列不等式组如下:
6、,题型一,题型二,题型四,题型三,比较两数的大小 【例2】 当x1时,比较x3+1与2x2-2x+2的大小. 分析:根据aba-b0,aba-b0,只需比较所给两个式子的差值与0的大小即可. 解:x3+1-(2x2-2x+2)=x3-2x2+2x-1 =x3-x2-(x2-2x+1) =x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),题型一,题型二,题型四,题型三,反思利用作差法比较大小时关键在于变形,变形的方向是将差式化成因式积的形式,然后确定每个因式的符号,从而确定积的符号.变形中常用到平方差、立方差、立方和等公式,还可能用到通分、因式分解、分子(或分母)有理化等方法.,题型一,
7、题型二,题型四,题型三,【变式训练2】 (1)若x0,b0,且ab,试比较aabb与abba的大小. 解:(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)(x2+y2)-(x+y)2=-2xy(x-y). x0,x-y0, (x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).,题型一,题型二,题型三,题型四,不等关系的实际应用 【例3】 商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该店推出两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠送一个茶杯; (2)按总价的92%付款. 某顾客需购茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若设购买茶杯x个,付款y元,试分别建立两种优惠办法的y
8、与x之间的函数关系式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更省钱. 分析:本题是一次函数问题,通过建立两种优惠办法的一次函数模型,然后利用作差法讨论选哪种优惠办法.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:由优惠办法(1)得y1=204+5(x-4)=5x+60(x4), 由优惠办法(2)得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4). y1-y2=0.4x-13.6(x4), 令y1-y2=0,得x=34. 当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;当4x34时,y1y2,优惠办法(2)省钱. 反思利用作差法比较两个代数式的大小时,如果差式中有字母,就需要对字母的取值进行分类讨论
9、.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它行驶同样的路程得花9天多的时间,这辆汽车原来每天行驶路程(单位:km)的范围是多少? 解:设这辆汽车原来每天行驶的路程为x km,解得256x260. 所以这辆汽车原来每天行驶路程的范围是(256,260)(单位:km).,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:忽视字母取值范围的讨论而致误,错因分析:当n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b0且没有明确字母
10、的具体值的情况下,要考虑分类讨论,即对a0,b0和a,b有一个负值的情况加以讨论.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a0,b0,所以a|b|.又n为偶数,所以(an-bn)(an-1-bn-1)0,且(ab)n0,1 2 3 4 5,1下列不等式一定成立的是( ) A.-3b,或者a=b”,不等式ab的含义是指“ab,或者a=b”,故只有选项B正确. 答案:B,1 2 3 4 5,2如果loga3logb3,且a+b=1,那么( ) A.00, 0a1,0b1.,答案:A,1 2 3 4 5,3已知ab,则a3与b3的大小关系是 .,所以a3b3. 答案:a3b3,1 2 3 4 5,4用“”“”“”或“”号填空. (1)(2a+1)(a-3) (a-6)(2a+7)+45; (2)a2+b2 2(a-b-1). 解析:(1)因为(2a+1)(a-3)-(a-6)(2a+7)+45=-60,所以(2a+1)(a-3)(a-6)(2a+7)+45; (2)因为a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20, 所以a2+b22(a-b-1). 答案:(1) (2),1 2 3 4 5,