《2019版数学人教B版必修4课件：1.2.2 单位圆与三角函数线 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版数学人教B版必修4课件：1.2.2 单位圆与三角函数线 .pptx（33页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2.2 单位圆与三角函数线,1.会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切. 2.能使用三角函数线求三角函数值、比较大小、解简单的三角方程或三角不等式、证明相关的命题等.,1,2,1.单位圆 半径为1的圆叫做单位圆. 【做一做1】 若单位圆的圆心与坐标原点重合,有下列结论: 单位圆上任意一点到原点的距离都是1; 单位圆与x轴的交点为(1,0); 过点(1,0)的单位圆的切线方程为x=1; 与x轴平行的单位圆的切线方程为y=1. 以上结论正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:单位圆与x轴的交点为(1,0)和(-1,0);与x轴平行的单位圆的切线方程为y=1,所以错误.显
2、然正确. 答案:B,1,2,2.三角函数线 (1)如图,设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0),A(-1,0),而与y轴的交点分别为B(0,1),B(0,-1). 设角的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图),过点P作PM垂直x轴于点M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).由三角函数的定义可知,点P的坐标为(cos ,sin ),即P(cos ,sin ).其中cos =OM,sin =ON.,1,2,这就是说,角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 如图,以A为原点建立y
3、轴与y轴同向,y轴与的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T),则tan =AT(或AT). 我们把轴上向量 分别叫做的余弦线、正弦线和正切线. 当角的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们的数量为零,而余弦线OM=1或-1. 当角的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切线不存在.,(2)三角函数线的方向表示三角函数值的符号:正弦线、正切线的方向同y轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同x轴一致,向右为正,向左为负.三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.,1,2,【做一做2-1】 如图,在单位
4、圆中,角的正弦线、正切线完全正确的是 ( ) 答案:C,1,2,【做一做2-2】 如图,你从图中可得到什么信息? (1)点P的坐标是 ;,1.三角函数线的作用 剖析三角函数线在解决有关三角函数的问题时,具有实用性、简捷性、直观性等特点.我们在使用时主要从形的角度看待三角函数线.三角函数线是三角函数值的直观表达形式.从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号,从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值的大小.三角函数线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小,同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础. 如:求函数y=log2(sin x)的定义域. 我们可以通过转化为解
5、不等式sin x0.解答如下: 要使函数y=log2(sin x)有意义,x的取值必须满足sin x0.,则sin x=MP0. 角x的终边在x轴的上方. 2kx2k+(kZ), 即函数y=log2(sin x)的定义域是(2k,2k+),kZ. 我们根据角能作出角的三角函数线,反过来,我们也可以根据三角函数值去找角的终边,从而找到角的取值范围.观察三角函数线的变化,我们知道: 当角由0增加到2时, sin 在第一、四象限都是增函数,在第二、三象限都是减函数; cos 在第一、二象限都是减函数,在第三、四象限都是增函数; tan 在各个象限内均是增函数. 观察三角函数线的变化,还可以得出:当R
6、时,sin ,cos 的值域为-1,1,tan 的值域为R.,归纳总结 三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具,要注意通过平时经验的积累,掌握三角函数线的应用.,题型一,题型二,题型三,题型四,分析利用单位圆中三角函数线的作法作图.,题型一,题型二,题型三,题型四,图(1),图(2),题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.正弦线、余弦线、正切线这三条有向线段中,有两条在单位圆内,有一条在单位圆外. 2.三条有向线段的正负:三条有向线段凡与x轴或y轴的正方向同向的为正值,与x轴或y轴的正方向反向的为负值. 3.三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前面,终点字母在后面.,
7、题型一,题型二,题型三,题型四,解:,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式、比较大小等问题时十分快捷有效,所以我们要能熟练地画出一个角的三角函数线,结合图形对比得出结论.这也是数形结合思想的很好体现.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 若 ,则下列各式错误的是 (填序号).,sin +cos 0; |sin |0.,解析:画出单位圆如右图,借助三角函数线进行判断. 由图可观察出,当 时,sin 0,cos 0,且|sin |cos |. 所以正确,错误. 答案:,题型一,题型
8、二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思通过解答本题,我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤:,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点:忽视三角函数线的方向致错 【例4】 利用三角函数线证明|sin |+|cos |1. 错解:证明:如图所示,MP=|sin |,OM=|cos |, 根据三角形中两边之和大于第三边易知|sin |+|cos |1. 错因分析上述解法忽视了角的终边在坐标轴上的情况,并且正弦线、余弦线是有方向的,不能写成MP=|sin |和OM=|cos
9、|.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:证明:当角的终边在x(或y)轴上时,正弦线(或余弦线)变成一个点,而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1),所以|sin |+|cos |=1.当角的终边落在四个象限时,如图,根据三角形两边之和大于第三边,易知|sin |+|cos |1. 综上,有|sin |+|cos |1.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),试比较a,b,c的大小. 解:,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,A.sin tan cos B.tan sin cos C.cos sin tan D.sin cos tan ,解析:如图,在单位圆中,作出 内的一 个角及其正弦线、余弦线、正切线. 由图知, ,考虑方向可得sin cos tan . 答案:D,1,2,3,4,5,3.若角的余弦线是单位长度的有向线段,则角的终边在( ) A.y轴上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.直线y=-x上 解析:由已知得|cos |=1,即cos =1.这时角的终边落在x轴上. 答案:B,1,2,3,4,5,4.在(0,2)内,使sin xcos x成立的x的取值范围为 ( ) 答案:C,1,2,3,4,5,5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线:,