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1、第二章 推理与证明,2.1 合情推理与演绎推理,2.1.1 合情推理,1.理解合情推理的含义,能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理. 2.体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用.,1,2,3,1.推理的结构与合情推理 (1)从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设),叫做前提;一部分是由已知推出的判断,叫做结论. (2)前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理. 归纳总结 推理也可以看作是用联结词将前提和结论逻辑的联结,常用的联结词有:“因为所以”“根据可知”“如果那么”等.,1,2,3,【做一做1】 下列说法正确的是( ) A.由合情推理得出的结论一定是正确的 B
2、.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论无法判定正误 答案：B,1,2,3,2.归纳推理 (1)根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳). (2)归纳推理的一般步骤: 通过观察个别情况发现某些相同性质; 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).,1,2,3,名师点拨归纳推理的特点: (1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理; (2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,所以“前提真而结论
3、假”的情况是有可能发生的; (3)人们在进行归纳推理的时候,总是先搜集一定的事实材料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行; (4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是科学发现的重要手段.,1,2,3,做一做2-1】 数列2,5,11,20,x,47,中的x等于 ( ) A.28 B.32 C.33 D.27 解析：5=2+31,11=5+32,20=11+33, x=20+34=32. 答案：B,1,2,3,1,2,3,3.类比推理 (1)根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)
4、的性质的推理,叫做类比推理(简称类比).它属于合情推理. (2)类比推理的一般步骤: 找出两类事物之间的相似性或一致性; 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).,1,2,3,归纳总结 类比推理有以下几个特点: (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中,推测正在研究中的事物的属性,它以旧有认识作基础,类比出新的结果; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能.,1,2,3,【做一做3-1】 在平面内,两条相交直线将整个平面分成四部分,类似地,在空间,两个相交平面将整个空间分成 . 答
5、案：四部分,1,2,3,【做一做3-2】 十进制中,2 004=4100+0101+0102+2103,那么在五进制中,2004(5)折合成十进制为( ) A.29 B.254 C.602 D.2 004 解析：找到十进制与五进制的相似之处.十进制中由低到高的单位依次为100,101,102,五进制中由低到高的单位依次为50,51,52,那么在五进制中,2004=450+051+052+253=4+253=4+250=254,故五进制中的2004(5)折合成十进制为254.选B. 答案：B,归纳推理的一般步骤是什么? 剖析：(1)实验、观察:通过观察个别事物发现某些相同性质. (2)概括、推广
6、:从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠. (3)猜测一般性结论:通过实例去分析、归纳问题的一般性结论.,题型一,题型二,题型三,归纳推理,题型一,题型二,题型三,反思 归纳法是获得数学结论的一条重要途径,运用不完全归纳法通过观察、实验,从特例中归纳出一般性结论,形成猜想.,题型一,题型二,题型三,类比推理,【例题2】 如图,在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为,且cos2+cos2=1,则在立体几何中,给出类比猜想.,分析：考虑到平面几何中为长方形,故可联想到立体几何中的长方体.,
7、题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思 1.类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比、归纳,提出猜想. 2.可类比为长方体的体对角线与共顶点的三条棱所成的角的关系,也可类比为长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角的关系. 3.类比的结论不是唯一的,也不一定正确.,题型一,题型二,题型三,易错辨析,易错点:在进行类比推理时,由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误,解决这类问题的关键是:先充分认识两类事物的相同(或相似)之处,充分考虑其中的本质联系,再进行类比.,题型一,题型二,题型三,【例题3】 请用类比推理完成下表:,题型一,题型二,题型三,1
8、,2,3,4,5,1已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a33等于( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6 解析：由题意可得,a1=3,a2=6,a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3,a8=6,归纳出每6项一个循环,则a33=a3=3. 答案：A,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( ) A.为定值 B.为变数 C.有时为定值,有时为变数 D.与正四面体无关的常数 答案：A,1,2,3,4,5,4如图,由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成. 通过观察可以发现:第4个图形中,火柴杆有 根;第n个图形中,火柴杆有 根. 答案：13 3n+1,1,2,3,4,5,答案：1 -1,