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1、习题课(二) 数列求和,1.巩固等差数列与等比数列的求和公式. 2.掌握数列求和的几种基本方法,并能应用这些方法解决一些简单的求和问题.,1.若在等差数列an中,首项为a1,公差为d,则其前n项和为,【做一做1】 在等差数列an中,a1=6,a4=0,则其前n项和Sn= . 答案:7n-n2 2.在等比数列an中,首项为a1,公比为q,则当q=1时,其前n项和为Sn=na1,当q1时,其前n项和为,【做一做2】 在等比数列an中,a3=2,a6=16,则其前n项和Sn= .,数列求和的常用方法 剖析(1)分组求和与并项求和 若一个数列的每一项都是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差
2、数列或等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解. 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)的类型,可采用两项合并求解. (2)裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.,(3)错位相减法 若数列an为等差数列,数列bn是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn.当求该数列的前n项和时,常常将anbn的各项乘公比q,错位一项与anbn的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,这种数列
3、求和的方法称为错位相减法.,题型一,题型二,题型三,分组求和与并项求和,(2)求和:Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1).,题型一,题型二,题型三,(2)当n为奇数时, Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+5)+(2n-3)+(-2n+1),当n为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-2n+3)+(2n-1),故Sn=(-1)nn(nN*). 反思某些数列通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.有些数列相邻两项的和是同一个常数或构成等差数列,这些数列的求和通常用并项法,但要注
4、意对n分奇偶数讨论.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 (1)数列(-1)nn的前n项和为Sn,则S2 020等于( ). A.1 010 B.-1 010 C.2 020 D.-2 020 解析:S2 020=(-1+2)+(-3+4)+(-2 019+2 020)=1 010. 答案:A,题型一,题型二,题型三,(2)已知数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n-1,. 求其通项公式an; 求这个数列的前n项和Sn.,故这个数列的通项公式为an=2n-1. Sn=a1+a2+a3+an =(21-1)+(22-1)+(23-1)+(2n-1),题型一,题型二,题型三,裂项相消
5、法求和 【例2】 已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn. (1)求an及Sn;,解(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d, a3=7,a5+a7=26, a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得a1=3,d=2.,an=2n+1,Sn=n(n+2).,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.若数列an的通项能转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和. 2.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项. 3.常见的裂项相消技巧有:,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 在等比数列an中,an0(n
6、N*),公比q(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=5-log2an,数列bn的前n项和为Sn,设,又an0,a3+a5=5. 又a3与a5的等比中项为2,a3a5=4. q(0,1),a3a5,a3=4,a5=1.,题型一,题型二,题型三,(2)bn=5-log2an=5-(5-n)=n, bn+1-bn=1. 数列bn是以b1=1为首项,1为公差的等差数列.,题型一,题型二,题型三,错位相减法求和 【例3】 已知正项等差数列an的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列. (1)求
7、an的通项公式;,分析(1)列方程组求出等差数列an的首项和公差;(2)利用错位相减法求Tn. 解(1)设等差数列an的公差为d, 2a1,a2,a3+1成等比数列,题型一,题型二,题型三,解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去), an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.,题型一,题型二,题型三,反思一般地,数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,就可采用错位相减法. 在写“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 已知首项都是1的两个数列an
8、,bn(bn0,nN*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.,(2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和Sn. 解(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN*),所以数列cn是首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1. (2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列an的前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1, 3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, 相减得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n, 所以Sn=(n-1)3n+1.,