《2019版数学人教B版必修4课件：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版数学人教B版必修4课件：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 .pptx（35页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.3 三角函数的积化和差与和差化积,1.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程. 2.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.,1,2,1,2,答案:B,1,2,【做一做1-2】 sin 37.5cos 7.5= .,1,2,1,2,名师点拨1.积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思想. 2.不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”,都是指三角函数间的关系,并不是指角的关系.,1,2,答案:C,1,2,1.和差化积与积化和差公式的作用 剖析(1)可从以下几方面来理解这两组公式: 这些公式中的“和差”、“积”都是指三
2、角函数间的关系,并不是指角的关系; 只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差,才能直接应用公式化为积的形式.如sin +cos 就不能直接化积,应先化成同名函数后,再用公式化成积的形式; 三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解. (2) 一般情况下,遇有正弦函数、余弦函数的平方,要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂,然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算.,(3)和差化积、积化和差公式的基本功能在于:当和积互化时,角度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值. 正因为如此,“和积互化”是三角恒等变形的一种基本方法.在解题过程
3、中,当遇到三角函数的和时,就试着化为积的形式;当遇到三角函数的积时,就试着化为和差的形式.往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.为了能够把三角函数化成积的形式,有时需要把某些数当作三角函数值,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析解答本题,先利用积化和差、和差化积公式对所求式子进行变形,再利用特殊角的三角函数值或所给条件求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思通过和差化积与积化和差公式的运用,一是可产生特殊角,二是虽不是特殊角,但可正、负相消或分子、分母约分,从而达到求值的目的.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练1】
4、 求下列各式的值: (2)cos 146+cos 94+2cos 47cos 73.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例2】 化简:4sin(60-)sin sin(60+). 分析观察(60-)与(60+)的和为特殊角,所以可用积化和差公式化简. 解:原式=-2sin cos 120-cos(-2) =sin +2sin cos 2 =sin +(sin 3-sin )=sin 3. 反思此题直接考查公式的应用,对于这种题目,解题公式的选取是关键.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例3】 在ABC中,求证:sin2A+sin2B-s
5、in2C=2sin Asin Bcos C. 分析先用降幂公式,再利用和差化积公式.,=cos2C-cos(A+B)cos(A-B) =cos Ccos(A-B)-cos(A+B) =2sin Asin Bcos C=右边. 故原式成立. 反思在三角形中证明恒等式时,一方面要充分利用内角和为这一条件,另一方面要注意降幂公式与和差化积、积化和差公式的合理运用.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练3】 求证:sin2-sin2=sin(+)sin(-). 证明左边=sin2-sin2 =(sin +sin )(sin -sin ) =sin(+)sin(-)=右边, 所以等式成立.
6、,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析将cos2A+cos2B利用降幂公式与积化和差、和差化积公式化为正弦形式或余弦形式.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思求一个三角函数式的单调性、最值、周期或值域等,一般要先将函数式化简为类似Asin(x+)+k的形式,再进行求解.对于本题,不要错误地求解为:cos2A和cos2B的最大值均为1,最小值都是0,所以原式的最大值为2,最小值为0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,错解:根据和差化积公式的结构形式,选项D中应该有负号,故选D. 错
7、因分析忽视了和差化积公式的内在关系,只看到了表面现象,没注意到角的顺序也有变化.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练5】 求值:sin 55-sin 65+sin 5. 解:sin 55-sin 65+sin 5= +sin 5=2cos 60sin(-5)+sin 5=-sin 5+sin 5=0.,1,2,3,4,5,6,1.有下列关系式:sin 5+sin 3=2sin 8cos 2;cos 3-cos 5=-2sin 4sin ;sin 3-sin 5=- cos 4cos ;sin 5+cos 3=2sin 4cos ;sin xsin y= cos(x-y)-cos(x+y).其中正确等式的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:均不正确,正确. 答案:B,1,2,3,4,5,6,2.cos 40+cos 80+cos 160的值等于( ) C.cos 20 D.2cos 20 解析:原式=2cos 60cos(-20)+cos 160=cos 20+cos 160=0. 答案:B,1,2,3,4,5,6,答案:D,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,6.求sin220+cos250+sin 20cos 50的值.,