《2019版数学人教A版选修4-5课件：第二讲 证明不等式的基本方法 本讲整合 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版数学人教A版选修4-5课件：第二讲 证明不等式的基本方法 本讲整合 .pptx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、本讲整合,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题一 比较法 比较法证明不等式的依据是:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明的一般步骤是:作差;恒等变形;判断结果的符号;下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用1设ab,求证:a2+3b22b(a+b). 提示：用作差比较法证明.作差比较法的步骤是:作差;变形;判断差与0的大小关系;下结论,其中最关键的步骤是. 证明：(
2、a2+3b2)-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.因为ab,所以a-b0. 从而(a-b)20,于是(a2+3b2)-2b(a+b)0. 所以a2+3b22b(a+b).,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,A.abc B.cba C.cab D.bac 提示：作商比较法的步骤是:作商;变形;判断商与1的大小关系;下结论.其中是关键步骤,同时要注意分子、分母的正负.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题二 综合法 综合法证明不等式的依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立
3、的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当时,等号成立”的理由要理解掌握.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用已知a,b,c为ABC的三条边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca). 提示：应用余弦定理解决.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题三 分析法 分析法证明不等式的依据:不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维
4、方向是“逆求”(但绝不是逆推),即由待证的不等式出发,逐步逆求使其成立的充分条件(执果索因),最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果”,逐步推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的两种方法,一般说来,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用设a0,b0,求证:a5+b5a3b2+a2b
5、3. 提示：此题可以用分析法、综合法和比较法来证明,这里我们用分析法证明. 证明：要证a5+b5a3b2+a2b3成立, 即证(a5-a3b2)+(b5-a2b3)0成立, 即证a3(a2-b2)+b3(b2-a2)0成立, 即证(a3-b3)(a2-b2)0成立. 而a0,b0,当ab0或ba0时, a3-b3与a2-b2的符号都相同, 所以(a3-b3)(a2-b2)0成立. 所以原不等式成立.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题四 反证法 运用反证法证明不等式,主要有以下两个步骤:作出与所证不等式相反的假设;从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证
6、明原不等式成立. 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题.涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题,也常用反证法.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,应用用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,所以在ABD中,ADBD,从而BBAD. 同理CCAD. 所以B+CBAD+CAD, 即B+CCAB. 因为B+C=180-CAB, 所以180-CABCAB, 则CAB90,这与题设矛盾.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题五 放缩法 在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以方便化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证的不等式成立,这种证明的方法称为放缩法.它是证明不等式的特殊方法.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,1,2,1(2017全国2,理23)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,所以(a+b)38,因此a+b2.,1,2,1,2,