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1、3.3 导数的应用,3.3.1 利用导数判断函数的单调性,1.通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系. 2.会利用导数求函数的单调区间,判断函数的单调性.,用函数的导数判断函数单调性的法则 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导, 1.如果在(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是增函数; 2.如果在(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是减函数.,名师点拨此法则只说明函数y=f(x)在某区间上f(x)0(或0)是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件,但并非必要条件.,【做一做1】 若函数y=f(x)的导函数f(x)在(a,b)上恒大于0,则函数y=f(x)在
2、(a,b)上是 函数.(填“增”或“减”) 答案:增 【做一做2】 函数y=f(x)的导函数f(x)0在(1,2)上恒成立,则区间(1,2)是函数y=f(x)的单调递 区间.(填“增”或“减”) 答案:减,利用求导的方法求函数的单调区间、判断函数的单调性需注意哪些问题? 剖析:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,在解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间. (2)在对函数划分区间时,除了必须注意确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.,题型一,题型二,题型三,函数的图象与导数的关系 【例1】 已知导函数f(x)
3、的下列信息: 当10; 当x4或x1时,f(x)0; 当x=4或x=1时,f(x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状. 分析:题中给出的信息是函数y=f(x)在实数集上的部分,根据导函数的正负,画出曲线的一个上升或下降的趋势即可.,题型一,题型二,题型三,解:当10,可知f(x)在区间(1,4)内是增函数,曲线应呈“上升”趋势; 当x4或x1时,f(x)0,可知f(x)在区间(-,1)和(4,+)内是减函数,曲线应呈“下降”趋势; 当x=4或x=1时,f(x)=0,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”. 综上,函数f(x)图象的大致形状如图所示.,反思本题考查函数单调性与导数的关系.知
4、道导数在区间上的符号(正、负),可知函数在此区间上的单调性,进而可画出其大致图象.,题型一,题型二,题型三,求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-3x+3; 分析:利用函数单调性的判定法则解题. 解:(1)f(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1). 令3(x+1)(x-1)0,解得x1或x-1. 因此,f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(1,+). 令3(x+1)(x-1)0,解得-1x1. 因此,f(x)的单调递减区间为(-1,1,题型一,题型二,题型三,(2)f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 令(ex-1)
5、(x+1)0, 解得x0. 因此,f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(0,+). 令(ex-1)(x+1)0,解得-1x0. 因此,f(x)的单调递减区间为(-1,0).,反思求函数f(x)单调区间的方法和步骤:确定函数的定义域;求导数f(x);在函数定义域内解不等式f(x)0和f(x)0;确定f(x)的单调区间.,题型一,题型二,题型三,易错题型,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,1函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(a,x1) B.(x2,b) C.(a,x1)(x2,b) D.(a,x1)和(x2,b) 答案:D 2在区间(a,b)内,f(x)0是f(x)在(a,b)内是减函数的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A,3函数f(x)=x3-3x2+9的单调递增区间为 . 答案:(-,0)和(2,+) 4若函数f(x)=x3+ax2+4在区间(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为 . 解析:f(x)=3x2+2ax. 由题意得3x2+2ax0在(0,2)内恒成立,所以a-3. 当a=-3时,f(x)=x3-3x2+4满足题意, 综上a的取值范围为(-,-3. 答案:(-,-3,5函数f(x)=xln x的单调递减区间为 .,