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1、第一讲 相似三角形的判定及有关性质,一 平行线等分线段定理,1.理解并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的图形语言及变式图形. 2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进行简单的证明或计算. 3.会用三角形中位线定理解决问题.,1,2,3,1.平行线等分线段定理,1,2,3,1,2,3,名师点拨1.平行线等分线段定理的条件是a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截. 2.平行线的条数可以多于3条,该定理还可以推广.,1,2,3,【做一做1】 如图,已知l1l2l3,直线a分别与l1,l2
2、,l3相交于点A,B,C,且AB=BC,直线b分别与l1,l2,l3相交于点A1,B1,C1,则有( ) A.A1B1=B1C1 B.A1B1B1C1 C.A1B1B1C1 D.A1B1与B1C1的大小不确定 解析:l1l2l3,AB=BC,根据平行线等分线段定理, A1B1=B1C1. 答案:A,1,2,3,2.推论1,知识拓展三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边长的一半.,1,2,3,【做一做2】 如图,已知DE是ABC的中位线,点F是BC上任一点,AF交DE于点G,则有( ) A.AGGF B.AG=GF C.AGGF D.AG与GF的大小不确定 解析:DE是A
3、BC的中位线, 在ABF中,DGBF. 又AD=DB, 点G平分AF,即AG=GF. 答案:B,1,2,3,3.推论2 知识拓展梯形中位线的性质:梯形的中位线平行于两底边,并且等于两底边长和的一半.,1,2,3,【做一做3】 如图,已知在梯形ABCD中,ADBC,AD+BC=10 cm,E为AB的中点,点F在DC上,且EFAD,则EF的长为( ) A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.不确定 解析:由推论2知,EF是梯形ABCD的中位线, 答案:A,平行线等分线段定理的两个推论的证明 剖析:(1)推论1,如图,在ABC中,B为AB的中点,过点B作BCBC交AC于点C,求证:点C是A
4、C的中点.,证明:如图,过点A作直线aBC, BCBC,aBCBC. AB=BB,AC=CC, 即点C是AC的中点. (2)推论2,如图,已知在梯形ACCA中,AACC,B是AC的中点,过点B作BBCC交AC于点B,求证:点B是AC的中点. 证明:如图,AACC,BBCC, AABBCC. AB=BC, AB=BC,即点B是AC的中点.,题型一,题型二,题型三,【例1】 如图,已知线段AB,求作线段AB的五等分点,并予以证明. 分析:利用平行线等分线段定理来作图. 作法:如图,(1)作射线AC; (2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5; (3)
5、连接D5B; (4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.,题型一,题型二,题型三,证明:过点A作MND5B. 则MND4A4D3A3D2A2D1A1D5B. AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5. AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B. 点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点. 反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下: (1)作射线AC(与AB不共线); (2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=Dn-
6、1Dn; (3)连接DnB; (4)分别过点D1,D2,D3,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点A1,A2,An-2,An-1,则点A1,A2,An-2,An-1将线段AB分成n等份.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 如图,已知线段AB,请用平行线等分线段定理将线段AB分成两部分,且两部分之比为23. 解:已知:线段AB. 求作:线段AB上一点O,使AOOB=23. 作法:(1)如图,作射线AC. (2)在射线AC上以任意长顺次截取AD=DE=EF=FG=GH. (3)连接BH. (4)过点E作EOHB,交AB于点O,则点O为所求的点.,题型一,题型二,题型三,【例2】
7、 如图,已知ACAB,DBAB,O是CD的中点.求证:OA=OB. 分析:因为线段OA和OB有共同端点,所以只需 证明点O在AB的垂直平分线上即可. 证明:过点O作AB的垂线,垂足为E,如图. ACAB,DBAB, OEACDB. O为CD的中点, E为AB的中点. 又OEAB,OA=OB. 反思证明两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 如图,已知在梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,M是CD的中点.求证:AM=BM. 证明:如图,过点M作MEBC交AB于点E, ADBC,ADEMBC.
8、 M是CD的中点, E是AB的中点. ABC=90, MEA=MEB=90, ME垂直平分AB.AM=BM.,题型一,题型二,题型三,【例3】 如图,在梯形ABCD中,ABDC,E为AD的中点,EFBC.求证:BC=2EF. 分析:由于EFBC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.,题型一,题型二,题型三,证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G. ABDC, 四边形ABCG是平行四边形. AGBC. EFBC,EFAG. E为AD的中点,F是DG的中点. 反思1.如果在三角形中出现中点,那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题. 2.本题也可用平行线等分线段定理来证明,过点E作DC的平行线即可.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 求证:顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形. 证明:已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:连接AC. AH=HD,DG=GC, HGEF.四边形EFGH是平行四边形.,