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1、2.3 等差数列的前n项和,第1课时 等差数列的前n项和,1.掌握数列前n项和的概念. 2.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 3.掌握等差数列前n项和公式及其应用.,1.数列的前n项和 对于数列an,一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an. 名师点拨数列的前n项和必须从第1项开始,逐项相加到第n项,不能是其中几项的和. 【做一做1】 数列9,-2,-10,3的前3项和S3= . 答案:-3,2.等差数列an的前n项和,【做一做2-1】 在等差数列an中,a1=1,d=1,则Sn等于( ). A.n B.n(n+1),答案:D 【
2、做一做2-2】 在等差数列an中,已知an=2n-1,则其前n项和Sn= . 解析:易知a1=1,故,答案:n2,等差数列前n项和公式与函数的关系,即Sn是关于项数n的函数. 当A=0,B=0时(此时a1=0,d=0),Sn=0是关于n的常数函数; 当A=0,B0时(此时a10,d=0),Sn=Bn是关于n的一次函数(正比例函数); 当A0时(此时d0),Sn=An2+Bn是关于n的二次函数. 从上面的分析,我们可以看出: (1)若一个数列an是等差数列,则其前n项和公式Sn=f(n)是关于n的二次函数或一次函数或常数函数,且其常数项为0,即Sn=An2+Bn(A,B为常数).,(2)若一个数
3、列的前n项和的表达式为Sn=An2+Bn+C(A,B,C为常数),则当C0时,数列an不是等差数列.,题型一,题型二,题型三,题型四,已知Sn求a 【例1】 已知下面各数列an的前n项和Sn的公式,求an的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 分析利用Sn-Sn-1=an(n2)求解. 解(1)当n=1时,a1=S1=212-31=-1; 当n2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5. 此时若n=1,则an=4n-5=41-5=-1=a1
4、, 故an=4n-5.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)当n=1时,a1=S1=31-2=1; 当n2时,Sn-1=3n-1-2, 则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1 =33n-1-3n-1=23n-1. 此时若n=1,则an=23n-1=231-1=2a1,反思已知数列an的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足an=Sn-Sn-1,那么数列an的通项公式为an=Sn-Sn-1; 如果a1不满足an=Sn-Sn-1,那么数列an的
5、通项公式要分段表示为,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 (1)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=32n+1,则an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n2时,an=Sn-Sn-1=32n+1-32n-1-1=32n-32n-1=32n-1(2-1) =32n-1. 当n=1时,不满足上式.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)设数列an的前n项和为Sn, 均在函数y=3x-2的图象上,求数列an的通项公式.,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5; 当n=1时,a1=S1=312-21=1=61-5适合上式, 所以
6、an=6n-5 (nN*).,题型一,题型二,题型三,题型四,等差数列前n项和的有关计算 【例2】 根据下列条件,求相应的等差数列an的有关未知数:,(2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d. 分析合理地使用等差数列前n项和公式,并注意其变形及方程思想的应用.,题型一,题型二,题型三,题型四,解得n=4. 又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171. 反思a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项
7、公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在具体求解过程中,应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 在等差数列an中,(2)a1=4,S8=172,求a8和d; (3)已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.,题型一,题型二,题型三,题型四,等差数列前n项和的最值问题 【例3】 已知数列an是等差数列,a1=50,d=-0.6. (1)该数列前多少项都是非负数? (2)求此数列的前n项和Sn的最大值. 分析(1)求不等式组 (2)既可以从项的正负考虑,也可以利用等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,考
8、虑对应二次函数的最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,解(1)由a1=50,d=-0.6, 知an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.,又mN*,则m=84, 即该数列的前84项都是非负数. (2)方法一:由(1)得a840,a850,题型一,题型二,题型三,题型四,反思求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法: (1)由二次函数的最值特征得解.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)根据项的正负来定.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 在等差数列an中,a1=25,S9=S17,求其前n项和Sn的最大值. 解(方法一)S9=S17,a1=25,当n=13时,Sn取
9、最大值S13=169. (方法二)同方法一,求出公差d=-2. an=25+(n-1)(-2)=-2n+27.,题型一,题型二,题型三,题型四,当n=13时,Sn取最大值S13=169. (方法三)S9=S17,a10+a11+a17=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. a10,d0,a140. 当n=13时,Sn取最大值,由S9=S17及a1=25可求得S13=169. (方法四)设Sn=An2+Bn. S9=S17,二次函数y=Ax2+Bx图象的对称轴为,当n=13时,Sn取最大值,由S9=S17及a1=25可求得S13=169.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点
10、:忽略an=Sn-Sn-1成立的条件致错 【例4】 已知数列an的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式. 错解an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1. 错因分析Sn=n2+2,a1=S1=12+2=3,而当n=1时,an=2n-1 =21-1=13,则an=2n-1不是数列an的通项公式.错解中忽视了an=Sn-Sn-1成立的条件是n2. 正解当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,题型一,题型二,题型三,题型四,反思已知数列an的前n项和Sn与an的关系求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n2),但必须写明它成立的条件:nN*,n2,忽视了这一点往往会导致错误.,