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1、1.3 三角函数的图象与性质,1.3.1 正弦函数的图象与性质,第1课时 正弦函数的图象与性质,1.能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象. 2.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用正弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题.,1,2,3,1.正弦函数的图象 正弦函数y=sin x,xR的图象叫做正弦曲线.我们用“五点法”作出y=sin x,xR的图象如下图. 其中在x0,2的图象起关键作用的五个点分别为,1,2,3,【做一做1】 y=-sin x的图象的大致形状是图中的 ( ) 答案:C,1,2,3,1,2,3,【做一做2-1】 函数y=sin x(xR)
2、图象的一条对称轴是( ) A.x轴 B.y轴 答案:D 答案:(0,2,1,2,3,3.周期函数 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.如果不加特殊说明,三角函数的周期均指最小正周期. 归纳总结 1.一个周期函数的周期不止一个,若有最小正周期,则最小正周期只有一个,并不是每一个周期函数都有最小正周期,如f(x)=a(a为常数)就没有最小正周期;若T是函数f(x)的
3、一个周期,则kT(k0,且kZ)也是函数f(x)的周期. 2.一般地,函数y=Asin(x+)(其中A0,0,xR)的周期为 .,1,2,3,答案:D,1.探讨正弦函数图象的对称性 剖析因为y=sin x为奇函数,所以其图象关于原点成中心对称,除了这个中心对称点之外,正弦函数的图象的对称中心也可以是点(,0),点(2,0),点(k,0)(kZ),由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心,且为(k,0)(kZ),它们是图象与x轴的交点;可以看出正弦函数的图象也具有轴对称性,对称轴为x=k+ (kZ),它们是过图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线.,2.教材中的“?” (1)请同学们观察下图,说明
4、将函数y=sin x,x0,2的图象怎样变换就能得到函数y=1+sin x,x0,2的图象.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,解:列表如下: 在直角坐标系中描出表中的五个关键点,并用光滑的曲线连接,然后向两边扩展,得下图所示的图象.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 用“五点法”作出函数y=2-sin x的图象. 解:列表如下: 在直角坐标系中描出表中的五个点,并用光滑的曲线连接,然后再向两边扩展,如图所示,即得函数y=2-sin x的图象.,题型一,题型二,题型三,题型四,分析讨论有关正弦函数的性质,应结合图象从定
5、义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性、对称性等几方面入手.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系、抽象的概念等显得直观,以此达到化难为易、顺利破解问题的效果.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(+x); 分析利用函数奇偶性的定义进行判断.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(x)=xsin(+x)=-xsin x, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x), f(x)是偶函数. (
6、2)函数f(x)应满足1+sin x0, 函数f(x)的定义域不关于原点对称. 该函数既不是奇函数也不是偶函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思通过本题的解答,我们可以得到如下规律: (1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法,即偶函数也可判断f(x)-f(-x)=0或,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2sin(2-x); 分析先求函数定义域,再按奇偶性的定义判断.,解:(1)函数f(x)的定义域是R,且f(x)=x2si
7、n(-x)=-x2sin x,于是f(-x)=-(-x)2sin(-x)=-x2sin(-x)=x2sin x=-f(x),故f(x)是奇函数. (2)要使函数f(x)有意义,应有1-sin x0,即sin x1,因此 所以f(x)的定义域是 ,不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,分析转化成二次函数求最值的问题,要特别注意sin x的范围对二次函数最值的影响.,反思求解这类问题,首先利用有关三角函数公式化为y=asin2x+bsin x+c的形式,然后利用二次函数的性质来求解.在解此题时,还要注意已知条件|x| 对结果的影响,否则会产生错误.,题型一,
8、题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 求下列各函数的最值,并求出取得最值时x的值. (1)f(x)=4sin x-1; (2)f(x)=cos2x+4sin x. 分析(1)可直接根据y=sin x的最值求解; (2)先用cos2x=1-sin2x将函数解析式转化再配方求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析根据函数单调性的定义,所求函数的单调区间必须在函数的定义域内.因此,在求函数的单调区间时,必须先求函数的定义域.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,1,2,3,4,5,6,1.下列说法: 在作正弦函数的图象时,单位圆的
9、半径与x轴的单位长度要一致; y=sin x,x0,2的图象关于点P(,0)对称; 正弦函数y=sin x的图象不超出直线y=1和y=-1所夹的区域. 其中,正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D,1,2,3,4,5,6,A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 故f(x)是奇函数. 答案:A,1,2,3,4,5,6,3.若函数f(x)=2sin x-b的最大值是3,则b的值为( ) A.1 B.3 C.-3 D.-1 解析:当sin x=1时,f(x)有最大值2-b,因此2-b=3,所以b=-1. 答案:D,1,2,3,4,5,6,答案:(1) (2),1,2,3,4,5,6,5.若函数f(x)=sin x+2|sin x|(x0,2)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是 . 答案:(1,3),1,2,3,4,5,6,6.求函数y=2cos2x+5sin x-4的最大值和最小值. 解:y=2cos2x+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2,