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1、3.3 幂函数 课后篇课后篇巩固提升 基础巩固 1.函数 y=3x-2的图象过定点( ) A.(1,1)B.(-1,1) C.(1,-1)D.(-1,-1) 答案 A 2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+)上是增函数的是( ) A.f(x)=x-1B.f(x)=x-2 C.f(x)=x3D.f(x)= 1 2 答案 C 3.下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 C.当幂指数 取 1,3, 时,幂函数 y=x都是增函数 1 2 D.当幂指数 =-1 时,幂函数 y=x在其整个定义域上是减函数 答案 C 4.已知当
2、x(1,+)时,函数 y=x的图象恒在直线 y=x的下方,则 的取值范围是( ) A.01 解析由幂函数的图象特征知 0,且 1.21.1, 1 2 10 9 1.1.,即 abc.2 1 2(10 9) 1 2 1 1 2 答案 A 6.如图是幂函数 y=xm与 y=xn在第一象限内的图象,则( ) A.-11 D.n1 解析由于 y=xm在(0,+)上单调递增,且为上凸函数,故 00,若 a,bR, 2+ - 3 (1) - (2) 1 - 2 且 a+b0,ab0,函数是单调增函数, (1) - (2) 1 - 2 所以 m=2,此时 f(x)=x3.又 a+b0,ab (1) + (2
3、) 2 (x2x10)的函数的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 解析如图,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有满足,其他四个都不满足,故选 A. 答案 A 5.幂函数 f(x)=(m2-3m+3)在区间(0,+)上是增函数,则实数 m= . 2- 2 + 1 解析由 f(x)=(m2-3m+3)是幂函数,得 m2-3m+3=1,解得 m=2 或 m=1.当 m=2 时,f(x)=x 是增 2- 2 + 1 函数;当 m=1 时,f(x)=1 是常函数. 答案 2 6.已知幂函数 f(x)=(m-1)2在(0,+)上单调递增,函数 g(x)=2x-k. 2- 4 + 2 (1)求实数 m
4、的值; (2)当 x(1,2时,记 (x),g(x)的值域分别为集合 A,B,若 AB=A,求实数 k的取值范围. 解(1)依题意得(m-1)2=1.m=0 或 m=2. 当 m=2时,f(x)=x-2在(0,+)上单调递减,与题设矛盾,舍去.m=0. (2)由(1)可知 f(x)=x2,当 x(1,2时,函数 f(x)和 g(x)均单调递增. 集合 A=(1,4,B=(2-k,4-k. AB=A,BA.2 - 1, 4 - 4. 0k1.实数 k的取值范围是0,1. 7.已知幂函数 f(x)=x(2-k)(1+k),kZ,且 f(x)在(0,+)上单调递增. (1)求实数 k的值,并写出相应
5、的函数 f(x)的解析式. (2)若 F(x)=2f(x)-4x+3在区间2a,a+1上不单调,求实数 a 的取值范围. (3)试判断是否存在正数 q,使函数 g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x 在区间-1,2上的值域为,若存在,求出 - 4, 17 8 q的值;若不存在,请说明理由. 解(1)由题意知(2-k)(1+k)0,解得-1k2. 又 kZ,k=0或 k=1,分别代入原函数,得 f(x)=x2. (2)由已知得 F(x)=2x2-4x+3.要使函数在区间2a,a+1上不单调,则 2a1a+1,则 0a . 1 2 (3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1. 假设存在这样的正数 q 符合题意, 则函数 g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为 x=1-1,因而,函数 g(x)在-1,2上的 2 - 1 2 1 2 最小值只能在 x=-1 或 x=2处取得, 又 g(2)=-1-4, 从而必有 g(-1)=2-3q=-4,解得 q=2. 此时,g(x)=-2x2+3x+1,其对称轴 x= -1,2,g(x)在-1,2上的最大值为 g=-2+3 +1= 3 4 ( 3 4) ( 3 4) 2 3 4 ,符合题意. 17 8 存在 q=2,使函数 g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x 在区间-1,2上的值域为. - 4, 17 8