《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：1.2 空间几何体的三视图和直观图1-3 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：1.2 空间几何体的三视图和直观图1-3 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、12 空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图 1.2.3 空间几何体的直观图 知识导图 学法指导 1.用斜二测画法画直观图， 关键是掌握水平放置的平面图形的直观 图的画法，这是画空间几何体的直观图的基础 2会用斜二测画法画出简单几何体的直观图 3充分利用直观图的作图规则，顺利实现实物图与直观图之间的 转化 高考导航 掌握直观图的画法是学好立体几何的基础，必须熟练、准确地掌 握常见几何体的直观图的画法学习过程中要重点把握直观图与原图 形之间的关系. 知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识点二 立体图形直观图的画法 用斜二
2、测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只多 了一个 z 轴，其直观图中对应于 z 轴的是 z轴，平面 xOy表示 水平平面，平面 yOz和 xOz表示竖直平面已知图形中平 行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段，其平行性和长度都不变 1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位 置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即 可 2用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角 画 45 (或 135 ) 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”) (1)用斜二测画法画水平放置的A 时， 若A 的两边分别平行于 x 轴和 y
3、 轴，且A90，则在直观图中，A45.( ) (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中 仍平行，且长度不变( ) 答案：(1) (2) 2水平放置的梯形的直观图是( ) A梯形 B矩形 C三角形 D任意四边形 解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选 A. 答案：A 3利用斜二测画法可以得到： 水平放置的三角形的直观图是三角形； 水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形； 水平放置的正方形的直观图是正方形； 水平放置的菱形的直观图是菱形 以上结论正确的是( ) A B C D 解析：根据斜二测画法的规则可知正确；对于，只有平 行于 x 轴的线段长度不变，所以不正确 答案
4、：A 4如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观 图，其中 OA6 cm，OC2 cm，则原图形是( ) A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形 解析：如图，在原图形 OABC 中， 应有 OD2OD224(cm)，22 CDCD2 cm， 所以 OC6 (cm)，所以 OAOC，OD2CD2 4 2222 故四边形 OABC 是菱形，故选 C. 答案：C 类型一 水平放置的平面图形的直观图的画法 例1 画一个锐角为45的平行四边形ABCD的直观图(尺寸自定) 【解析】 (1)画轴：ABCD 如图 1 所示，以直线 AB 为 x 轴，线 段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直
5、角坐标系 xOy，再建立斜坐标系 xOy，使xOy45，如图 2. (2)描点：在 x轴上以点 O为中点，取 BABA，在 y轴 上取 OD OD，过 D作 DCx轴， 1 2 且 DCDC，如图 2. (3)连线：连接 BC，AD，如图 2. (4)成图：四边形 ABCD即为一个锐角是 45的平行四边形 ABCD 的直观图. 以直线 AB 为 x 轴， 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴， 建立直角坐标 系 xOy，再建立斜坐标系 x O y ，利用斜二测画法画直观图 方法归纳 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是 关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于
6、画点； 原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观 图中仍是平行线 跟踪训练 1 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示 解析 ： (1)在已知的直角梯形 OBCD 中， 以底边 OB所在直线为 x轴， 垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画相应的 x轴和 y轴，使xOy45，如图所示 (2)在 x轴上截取 OBOB， 在 y轴上截取 OD OD， 1 2 过点 D作 x轴的平行线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 DCDC.连接 BC，如图. (3)所得四边形 OBCD就是直角梯形 OBCD 的直观图如 图. 观察图形先以 OB 为 x 轴
7、，OD 为 y 轴建平面直角坐标系，再用斜 二测画直观图 类型二 立体图形的直观图的画法 例 2 画正六棱柱 ABCDEFABCDEF的直观图(尺 寸自定) 【解析】 如图(1)画轴画出 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于 点 O，使xOy45，xOz90. 画底面 以点 O 为中点， 在 x 轴上取 FOOC， 在 y 轴上取 OM ONFO，分别过点 M，N 作 EDFO，ABFO，EDABFO， 3 4 且 M，N 分别为 DE，AB 的中点连接 BC，CD，EF，FA，得到正六 棱柱的底面直观图 ABCDEF. 画侧棱 在六边形ABCDEF所在平面的同侧过点A， B， C， D， E，
8、 F 分别作 z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取 AA，BB，CC， DD，EE，FF都等于侧棱长 成图顺次连接 A，B，C，D，E，F，并加以整 理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图， 如图(2)所示. 建立坐标系，根据画轴、画底面、画侧棱的顺序画直观图 方法归纳 (1)画柱体、锥体的直观图的步骤 画轴：通常以高所在直线为 z轴建系画底面：根据平面图 形的直观图画法确定底面确定顶点：利用与 z轴平行或在 z轴 上的线段确定有关顶点连线成图 (2)画台体的直观图的步骤 画轴：通常以高所在直线为 z轴建系画下底面画高， 画上底面连线成图 跟踪训练 2 用斜二测画法画
9、出六棱锥 PABCDEF 的直观图， 其 中底面 ABCDEF 为正六边形，点 P 在底面上的投影是正六边形的中心 O(尺寸自定) 解析 ： (1)画出六棱锥PABCDEF的底面在正六边形ABCDEF中， 取 AD 所在的直线为 x 轴，线段 AD 的中垂线为 y 轴，两轴相交于点 O(如图(1)，画相应的 x轴、y轴、z轴，三轴相交于点 O，使 xOy45，xOz90(如图(2)； 在图(2)中，以 O 为中点，在 x轴上取 ADAD，在 y轴上取 MN MN， 1 2 以点 N为中点，画 BCx轴，且 BCBC，再以 M为中 点，画 EFx轴，且 EFEF；连接 AB，CD， DE， FA
10、， 得 到 正 六 边 形 ABCDEF 水 平 放 置 的 直 观 图 ABCDEF. (2)画正六棱锥PABCDEF的顶点 在z轴的正半轴上取点P， 点 P异于点 O. (3)成图连接 PA，PB，PC，PD，PE， PF，并擦去 x轴、y轴和 z轴，将被遮挡的线改为虚线，便 可得到六棱锥 PABCDEF 的直观图 PABCDEF(如 图(3) 建立坐标系，根据画底面、确定顶点、连线的顺序画直观图 类型三 直观图与原平面图形的面积关系 例3 如图所示， 四边形ABCD是一个梯形， CDAB， CDAO1， 三角形 AOD 为等腰直角三角形，O 为 AB 的中点，试求水平放置的梯 形 ABC
11、D 的直观图的面积 【解析】 方法一 在梯形 ABCD 中，AB2，高 OD1，水平 放置的梯形 ABCD 的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变， 作 DEAB于 E， 如图所示， 在直观图中， OD OD 1 2 ，梯形 ABCD的高 DE，于是梯形 ABCD 1 2 2 4 的面积为 (12). 1 2 2 4 32 8 方法二 因为梯形 ABCD 的面积为 ， 所以直观图的 12 1 2 3 2 面积为 . 2 4 3 2 32 8 研究直观图的面积问题时，一定要注意：画三角形的直观图时， 不仅是 y 轴上的线段长度变为原来的一半，同时，y 轴与 x 轴的 夹角也变为 45 (或
12、135 )，因此直观图中三角形的高不是原来高的一 半 方法归纳 (1)解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直 观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使 平行于 x 轴的线段的长度不变， 而平行于 y 轴的线段长度变为原来的 2 倍 (2)求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图 的底边和高在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线 成 45角且长度为原来的一半的线段， 以此为依据求出直观图中的高线 即可 跟踪训练 3 已知水平放置的ABC 按“斜二测画法”得到如图 所示的直观图，其中 BOCO1，BAC90，则 ABC 的面积为_ 解析：
13、BAC90，BOCO1， AO1，ABC 的高为 2，ABC 的面积为 222. 1 2 答案：2 由斜二测画直观图，还原原图再计算 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1关于“斜二测画法” ，下列说法不正确的是( ) A原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x轴，长度 不变 B原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y轴，长度 变为原来的1 2 C在画与直角坐标系 xOy 对应的 xOy时，xOy必 须是 45 D在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 解析：在画与直角坐标系 xOy 对应的 xOy时，x
14、Oy 可以是 45，也可以是 135. 答案：C 22019山东日照校级检测在画水平放置的平面图形时，若在原 来的图形中两条线段平行且相等， 则在直观图中对应的两条线段( ) A平行且相等 B平行不相等 C相等不平行 D既不平行也不相等 解析：在原图形中平行且相等的线段在直观图中保持平行且相等 答案：A 3如图所示的直观图的平面图形是( ) A等腰梯形 B直角梯形 C任意四边形 D平行四边形 解析：由斜二测画法知，ABAD，BCAD，因此具有如图所示 直观图的平面图形是直角梯形 答案：B 4已知一条边在 x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此 平行四边形中有一边长为 4，则原正方形的面积
15、是( ) A16 B64 C16 或 64 D以上都不对 解析 ： 根据直观图的画法，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段变为原来的一半， 于是直观图中长为4的边如果平行于x轴， 则正方形的边长为 4，面积为 16； 长为 4 的边如果平行于 y轴，则正 方形的边长为 8，面积为 64. 答案：C 5若用斜二测画法把一个高为 10 cm 的圆柱的底面画在 xOy平面上，则该圆柱的高应画成( ) A平行于 z轴且长度为 10 cm B平行于 z轴且长度为 5 cm C与 z轴成 45且长度为 10 cm D与 z轴成 45且长度为 5 cm 解析：平行于 z 轴的线段，在直观图中平
16、行性和长度都不变，故 选 A. 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2， 那 么 ABC 的 直 观 图 ABC的面积为_ 解析：如图，图，图所示的分别是实际图形和直观图 从图可知，ABAB2， OC OC， 1 2 3 2 CDOCsin45. 3 2 2 2 6 4 所以 SABC ABCD 2. 1 2 1 2 6 4 6 4 答案： 6 4 7. 一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形 ABCD，如图所示， ABC45，ABAD1，DCBC，则这个平面图形的面积为 _ 解析 ： 由直观图， 可知原图形为直角梯形，
17、且上底为 1， 下底为 2 2 1，高为 2，故面积为 22. 1 2 (1 2 2 1) 2 2 答案：4 2 2 8一条边在 x 轴上的正方形的面积是 4，按斜二测画法所得的直 观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是_ 解析：正方形的面积为 4，则边长为 2，由斜二测画法的规则，知 平行四边形的底为 2，高为，故面积为. 2 2 2 答案：2 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9将图中所给水平放置的直观图绘出原形 解析： 10画棱长为 2 cm 的正方体的直观图 解析 ： (1)作水平放置的正方形的直观图 ABCD， 使BAD45， AB 2 cm，AD1 cm. (2
18、)过点 A 作 z轴，使BAz90，分别过点 A，B，C，D， 沿 z轴的正方向取 AA1BB1CC1DD12 cm. (3)连接 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图，擦去辅助线，把被遮 住的线改为虚线，得到的图形如下图就是所求的正方体的直观图 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的 底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为 20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为 8 m如果按 1500 的比例画出它的直观图， 那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( ) A4 cm,1 cm,2 c
19、m,1.6 cm B4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm C4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别 为 4 cm,1 cm,2 cm 和 1.6 cm，再结合直观图的画法，长方体的长、宽、 高和四棱锥的高应分别为 4 cm,0.5 cm,2 cm，1.6 cm. 答案：C 12. 如图为ABO 水平放置的直观图ABO，由图判断ABO 中，AB，BO，BD，OD 由小到大的顺序是_ 解析 ： 由题图可知， ABO 中， OD2， BD4， AB， BO217 . 5 答案
20、：ODBDABBO 13用斜二测画法画出图中水平放置的OAB 的直观图 解析：(1)在已知图中，以 O 为坐标原点，以 OB 所在的直线及垂 直于 OB 的直线分别为 x 轴与 y 轴建立平面直角坐标系，过点 A 作 AM 垂直 x 轴于点 M，如图 1.另选一平面画直观图，任取一点 O，画出 相应的 x轴、y轴，使xOy45. (2)在 x轴上取点 B，M，使 OBOB，OMOM， 过点 M作 MAy轴， 取 MA MA.连接 OA， BA， 1 2 如图 2. (3)擦去辅助线，则OAB为水平放置的OAB 的直观图 14一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且 圆锥的底面与圆柱
21、的底面重合，圆柱的底面直径为 3 cm，高(两底面圆 心连线的长度)为 4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为 3 cm，画出此几何体的直观图 解析：(1)画轴如图(1)所示，画 x 轴、z 轴，使xOz90. (2)画圆柱的下底面 在 x 轴上取 A、 B 两点， 使 AB3 cm， 且 OA OB，选择椭圆模板中适当的椭圆过 A，B 两点，使它为圆柱的下底面 (3)在 Oz 上截取点 O，使 OO4 cm，过点 O作平行于 Ox 的 Ox，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面 (4)画圆锥的顶点在 Oz 上取点 P，使 PO3 cm. (5)成图连线 AA，BB，PA，PB，整理(去掉辅助线，将 被遮挡部分改为虚线)得到此几何体的直观图，如图(2)所示